Hjælp til en mat-opg.

Krydsproduktet af to planers normal-vektorer giver dig jo en vektor, der står vinkelret på begge de to normal-vektorer.

Hvis de to planer skærer hinanden, vil krudsproduktet af normalvektorerne derfor angive en retningsvektor for skæringslinien.

Du har regnet 3 krydsprodukter ud. Det andet er det første gange -1; det tredie er det første gange -2; derfor er de tre skæringslinier der er mellem de tre kombinationer af to af planerne alle parallelle.

Hvis du nu kan vise, at de tre planer har et eller andet punkt til fælles, så har du vist, at de tre mulige skæringslinier er sammenfaldende.

Giver et mening?

Jamen kan jeg det når der er tre ubekendte og tre ligninger

Opgaven antyder jo på det kraftigste, at de tre planer har en linie til fælles.

Hvis de nu blot havde haft et punkt til fælles, ville du kunne løse dine 3 ligninger med 3 ubekendte og få ét punkt som løsning.

Men nu da de har mere end ét punkt til fælles (nemlig den linie du søger), så vil forsøget på at løse 3 ligninger med 3 ubekendte sikkert ende med uendelig mange løsninger. Dette vil sikkert vise sig ved, at én af de 3 variable går ud - løsningen vil så kunne omformes til en ligning for den linie, som du søger.

Så dette er en alternativ måde at gøre det på: prøve at løse de 3 ligninger med 3 ubekendte og vise, at løsningen koger ned til en ligning for en linie.

Koger ned? Vil det sige at jeg får f.eks. y´erne og x´erne til at gå ud hvoorpå jeg bestemmer z og ligeledes med de andre

Njah... indrømmet, jeg var lige lovlig upræcis i #3. Hvad jeg mener er f.eks. dette:

De 3 ligninger er:

2x - y + 2z = 3
3x + 2y + z = 2
x - 4y + 3z = 4

Dette system af 3 lignigner med 3 ubekendte prøver jeg at løse. Jeg fokuserer på z og trækker 2 gange 2. ligning fra 1.ligning og 3 gange 2. ligning fra 3. ligning og får:

-4x - 5y = -1
3x + 2y + z = 2
-8x - 10y = -2

Her er 1. og 3. ligning ensbetydende, d.v.s. jeg kan se bort fra den ene af dem, jeg fravælger den 3. (Jeg kunne også have trukket 2 gange den 1. fra den 3. og have fået 0 = 0). Tilbage har jeg:

-4x - 5y = -1
3x + 2y + z = 2

Dette er 2 ligninger med 3 ubekendte. Nu VÆLGER jeg at undersøge hvad der sker, hvis x = 0; så får jeg:

5y = -1
2y + z = 2

Dette kan let løses, jeg får:
(x = 0 det valgte jeg jo...)
y = 0.2
z = 1.6

Jeg kontrollerer nu, at dette punkt opfylder alle tre oprindelige ligninger.

Endelig kan jeg bruge et af dine krydsprodukter fra #0 og give f.eks. denne parameterfremstilling for den søgte linie:

(x, y, z) = (0, 0.2, 1.6) + t*(5, -4, 7).

Bemærk, at der hvor jeg VÆLGER at sætte x = 0, der kan du også vælge en eller anden ANDEN fast værdi for x eller vælge på samme måde at holde en af to andre variable fast og derefter løse 2 lign. m. 2 ubek. for at finde de to resterende. Det vil nok give en anden løsning for dit "faste" punkt, men denne anden løsning vil stadig ligge på den linie som min løsning udpeger (lissom mit punkt vil ligge på den linie som en alternativ løsning vil give).