Hjælp til ulighed

Jeg går ud fra at du har haft om McLaurin rækker. Sådan en række er for sinusfunktionen

sin(x) = x - x³/3! + x⁵/5! - · · ·

Der findes et restled for sådan en række. Fejlen for brug af n led kan numerisk hølst være lig med den numeriske værdi af det næste led. Dette giver den ønskede ulighed.

 Tusind tak for dit svar. Jeg forstår - Jeg har faktisk ikke hørt om McLaurin, men har det noget af gøre med Taylorudviklingen og dets restled? Altså hvis man taylorudvikler sin(x)? 

Ja. Det har det Taylorrækken udvikler fra et vilkårligt punkt x₀. I MacLaurin rækkerne er x₀ blot sat til 0. Det er altså en speciel Taylorrække.

 Har jeg forstået det rigtig, hvis at man taylorudvikler sin(x) omkring 0, vil må fa ovenstående række, hvor "fejlen" for at gå fra en funktion til en taylorudviklet funktion, er lig med den numeriske værdi af de næste led?? Hvor vi har rykket x over på den anden side?

Tusind tak for din hjælp!

Du har ret.

 Tusind tak fordi din tid - det har virkelig været en hjælp! 

Har dette evt også noget at gøre med uligheden:

1-cos(x) mindre eller lig med x^2/2..

Man kan jo omskrive 1-cos(x) således at uligheden lyder

l sin(x/2) l mindre eller lig med l x/2 l... ?

Du kan bruge begge metoder. McLaurinrækken for cosinus funktionen er

cos(x) = 1 - x²/2! + x⁴/4! - · · ·

 Tusind tak for al din hjælp - det sætter jeg stor pris på, at du har taget dig tid til.. Måske jeg må opsøge dig igen, hvis noget driller? Så kan du se om du har tid og lyst til at svare.. :)

Tak fra Lisbeth Meier

selvfølgelig må du det. Det har været mig en fornøjelse.

Er der nogen, der kan give hele løsningen til denne opgave? Det er et fint eksempel.

Kan du ikke uddybe hvad du savner.

Jeg vil gerne se, hvordan man laver en taylorudvikling. Det er ikke noget, som jeg har set før, og jeg savner et praktisk eksempel på det.

Lad funktionen f(x) være sin(x). Der gælder så:

f(x)               f'(x)           f''(x)           f'''(x)           f⁽⁴⁾(x)       f⁽⁵⁾(x)  ....

sin(x)          cos(x)     -sin(x)       -cos(x)      sin(x)      cos(x)    .....

og dermed    

 f(0)            f'(0)            f''(0)          f'''(0 )       f⁽⁴⁾(0)         f⁽⁵⁾(0) ....

 0                 1                0              -1             0                 1

Taylorrækken bliver så:

sin(x) = f(x) ≈f(0) /0!  +   f'(0)*x/1! +  f''(0)*x²/2!   + f'''(0)x³/3! +  f⁽⁴⁾(0)*x⁴/4!+  f⁽⁵⁾(0)*x⁵/5!    ....=

0/0!+1*x/1!+0*x²/2! - 1*x³/3!  + 0*x⁴/4! + 1*x⁵/5!+ ... = x/1! - x³/3!  + x⁵/5!