Bevis uendelig kvotientrække

Jeg formoder, at det er qⁱ der summeres i dit udtryk. Så du har allerede, at

s_n = 1 + x + x² + ... + xⁿ = (1-xⁿ⁺¹)/(1-x) , x ≠ 1 . Hvis |x| < 1 går xⁿ mod 0 for n → ∝ , og dermed går s_n mod 1/(1-x) for n → ∝ . Dermed er du færdig med beviset.

Mange tak for svaret! Ja, det er qⁱ, der summeres i det bevis, jeg skal lave nu. Så jeg kan altså godt lade følgen (kaldes S_n ikke det?) hedde: sn = 1 + x + x² + ... + xⁿ og dermed medtage xⁿ i følgen, selvom mit udtryk har en øvre grænse på (n-1)?

Er det ikke nødvendigt at bruge induktion, hvor jeg påstår, at P_n er sand og derefter viser, at P₁ er sand for så til sidst at vise, at P_k+1 er sand for at vise, at jeg kan omskrive en række til en brøk som nævnt? Derefter kan jeg så sige, at hvis |x| < 1 går xⁿ⁺¹ (det er vel xⁿ⁺¹ og ikke x^n, som jeg skal skrive her?) mod 0 for n → ∝ , og dermed går sn mod 1/(1-x) for n → ∝.

Ja, (s_n) kaldes en følge, afsnitsfølgen for den uendelige række ∑^∝₀ xⁿ . Hvis (s_n) har en grænseværdi S defineres denne som summen af den uendelige række.

Hvis du kender udtrykket for (n-1) kan du altiod finde udtrykket for n ved at erstatte (n-1) med n. Du skal vise, at rækken har den angivne sum ved at vise, at afsnitsfølgen har den angivne grænseværdi, og det var stort set det, jeg gjorde i #1.

Σ

Jeg forstår ikke helt, hvad du mener med det dette: "Hvis du kender udtrykket for (n-1) kan du altiod finde udtrykket for n ved at erstatte (n-1) med n. Du skal vise, at rækken har den angivne sum ved at vise, at afsnitsfølgen har den angivne grænseværdi, og det var stort set det, jeg gjorde i #1."

Skal jeg forstå det sådan, at det er ligemeget, om jeg skriver n eller n-1, resultatet vil blive det samme? Jeg skal vise, at min række lim n→∞Σ^n-1₀qⁱ = S og S er så = n-1 ellerhvad? Det viser jeg ved at vise, at S_n "har den angivne grænseværdi", men hvordan gør jeg det? Er det bare at skrive, at s_n = 1 + q + q² + ... + q^n-1 og derefter skrive, at det er = (1-xq^n-1)/(1-x), eller skal q i tælleren stadigvæk opløftes i ⁿ⁺¹?

Papas, hvad mener du, når du skriver Σ?

Der er absolut ingen grund til at benytte induktion. Det ville være at forsværre et i grunden ret nemt bevis.

Du har summen:

S_n=q⁰+q¹+q²+...+q^n-1

Ganger du denne med q får du

S_n*q=q¹+q²+q³+...q^n-1+qⁿ.

Nu kan du så trække den anden fra i den første:

S_n-S_n*q=q⁰-qⁿ

idet du ser, at de går ud med hinanden parvis. 

Sæt nu S_n uden for en parentes, da får du:

S_n(1-q)=q⁰-qⁿ

Du forkorter så ganske simpelt, så du får S_n:

S_n=(q⁰-qⁿ)/(1-q)

Du har da:

lim_n-->∞ S_n=q⁰/(1-q)

og idet q⁰=1, følger din sætning.

#5

"altiod" var en skrivetorsk for "altid" . Det var mit indtryk, at du havde brug for et udtryk med n, og du havde en formel, der gik til (n-1), og der var det, at jeg sagde, at du så nemt kunne få et udtryk, der gik til n.

Hvor er det dejligt med al jeres hjælp, tusind tak! Jeg tror, at jeg har fanget den nu!