Fastlæg interval

løs ligningen

r(t₁)=r(t₂)

Det forstår jeg ikke helt!?

r(t1)=r(t2)

betyder at:

given

r_x(t₁)=r_x(t₂)

r_y(t₁)=r_y(t₂)

find(t_1,t₂)

Men synes ikke helt jeg kan se hvilke tal jeg skal smide ind!?

given

rx(t1)=rx(t2)        =        t₁²-4=t₂²-4       

ry(t1)=ry(t2)          =     t₁³-6t₁+8=t₂³-6t₂+8

find(t1,t2)
 

brug et CAS værktøj til at løse den.

kan se du går på HTX, så i bruger nok mathcad. Den skal nok løses numerisk der i.

Får både løsningen 0, √6 og -√6

Siger man så at intervallet for t går fra [-√6 ; 6]

Eller?

har ikke selv løst den, men jeg vil nærmere tro det går fra 0 til √6 eller fra -√6 til 0

Altså hvis jeg sætter -√6 ind i vektorfunktionen ligger punktet langt uden for 'sløjfen' !!!

 ... det er vel ikke bare de x-værdier (som nu hedder t) der skal defineres?

Antag, at der er et t₁ og et t₂, så r(t₁) = r(t₂) . Da skal der gælde

x(t₁) = x(t₂) , altså

t₁² - 4 = t₂² - 4 eller

t₁² - t₂² = 0 , eller

(t₁+t₂) (t₁-t₂) = 0 , der ved nulreglen giver

t₁ = t₂ eller t₁ = -t₂ .

Den første løsning er jo triviel, mens den anden løsning er, hvad vi skal bruge. For der skal jo også gælde y(t₁) = y(t₂). Sætter vi nu t₁ = t og t₂ = -t i udtrykket for y, får vi

t³ - 6t + 8 = (-t)³ -6(-t) + 8 , eller

2t³ - 12t = 0 , eller

t(t² - 6) = 0 , eller

t = 0 eller t = √6 eller t = -√6 . De to løsninger, der er relevante for den lukkede kurvesløjfe er da

t = -√6 og t = √6 , altså intervallet [-√6 ; √6]

nå fik regnet den igennem men andersen har jo så svaret...

tror du har sat det forkert ind for det passer fint hos mig.

Synes bare at det burde være fra [0 ; √6]

For hvis jeg indsætter -√6 får jeg som sagt et punkt, der ligger pænt langt fra den lukkede sløjfe. Derimod hvis jeg indsætter 0 og √6 får jeg lige netop de yderliggende koordinater, som afgrænser den lukkede sløjfe!

#11 - Indsættes t = -√6 fås samme r som for t = √6 . Med r(t) = (t²-4 ; t³-6t+8) . Denne sidste skrivemåde er i øvrigt meget mere overskuelig, end den notation, du har valgt i #0.

okay.. hmm - så må jeg have glemt nogle parenteser et sted! Men mange tak for jeres svar.

Vil i øvrigt huske notationen omkring vektorfunktioner i fremtiden