opstil en ligning

a) Jeg tror, du har kludder i dine enheder. Konstanten D er ikke dimensionsløs. Af Archimedes' lov findes torpedoens tværsnitsareal A til

A = m/(Lρ) , hvor L er dens længde. Heraf fås

D = 0,45 ρ A = 0,45 m/L = 0,45•200kg/(3,00m) = 30,00 kg/m .

b) Den resulterende kraft i vandret fremadrettet retning er

F_res = F_motor - f = 4990N - D•v² .

Vi sætter nu F_res = ma , hvor a er accelerationen i vandret retning og udnytter, at a = dv/dt :

m v'(t) = 4990N - D•v(t)² = 4990N - 30kg/m v(t)² ,

der er den ønskede differentialligning. Til dens løsning antages så begyndelsesværdien v(0) = 0.

Differentialligningen kan i øvrigt løses analytisk . Sættes a = F_motor/m = 24,95 m/s² og b = D/m = 0,15 m^-1 fås

(a+√(ab) v(t))/(a-√(ab) v(t)) = e^{2√(ab) t} , hvoraf

v(t) = √(a/b) tanh(√(ab) t) = 12,897m/s tanh(1,9346s^-1 t) .

Til tiden t = 1,0s fås

v(1,0s) = 12,897m/s tanh(1,9346) = 12,370m/s

Sluthastigheden opnås, når friktionskraften netop ophæver motorkraften. Da er v'(t) = 0 , og dermed

30kg/m v_slut² = 4990N , så

v_slut = √(4990N/(30kg/m)) = 12,897m/s . Dette er, som det ses, også koefficienten til udtrykket for v(t) , idet tanh(ct) → 1 for t → ∝ .

For at beregne, hvor langt torpedoen er kommet efter et vist stykke tid, skal vi beregne x(t) og udnytte, at v(t) = x'(t) og at x(0) = 0, så

x(t) = ∫v(t) dt = √(a/b) ∫tanh(√(ab) t) dt = 1/b ln(cosh(√(ab) t)) = (20/3)m ln(cosh(1,9346s^-1 t)) . Til tiden t = 1,0s fås

x(1,0s) = (20/3)m ln(cosh(1,9346)) = 8,414m

 Ok, tak for hjælpen, men når jeg laver det inde i maple får jeg v(1,0 s) = 10,11 s...Hmm, mærkeligt.

Hvad med c) hvordan griber man den an?

 Ha ha..Det var en tastefejl. Har nu fået v(1,0 s) = 12,370 m/s

Ved c) skal du benytte, at det samlede arbejde udført af en kraft F er

A = ∫F(x) dx ,

hvor integralet udstrækkes over den samlede vejlængde, kraften har virket over.

 Så jeg skal:

A =  A = ∫F(x) dx = ∫4990N - 30kg/m v(t)2 ???