Niveaukurve

Niveakurven N(25200) beskrives ved ligningen f(x, y) = 25200, dvs

-x² + 120x - 4y² + 600y = 25200

Vi kompletterer de toleddede størrelser:

x² - 120x + 60² + 4y² -600y + 150² + 25200 - 60² -150² = 0 , eller

(x-60)² + (2y - 150)² = 900 = 30² eller

(x-60)²/30² + (y-75)²/15² = 1

Niveaukurven er givet ved f(x,y) = 25200. Du kan enten bruge samme omskrivningsteknik, som når du skal omskrive et polynomium i x og y så man af ligningen direkte kan aflæse centrum og radius eller du kan gange paranteserne i den anden ligning ud  og dernæst forlænge med en faktor så du får de rigtige  koefficienter til x² og y²

Er der nogle formler til formålet, eller hvordan ved man hvor tallene skal skrives ind?

Det virker meget arbitrært.  

Der er nu ikke noget arbitrært i det. Du skal prøve at nå frem til en ligning for en ellipse

(x - x_c)²/a² + (y - y_c)²/b² = 1 ,

hvor (x_c ; y_c) er ellipsens centrum og a og b er ellipsens halvakser.

Jeg så på, hvad der manglede for at komplettere leddene til kvadrater på toleddede størrelser.

 Ah, er det så rigtig forstået at centrum er fundet ud fra intervalgrænserne? Og halvakserne er 1/4 af intervalgrænserne?

Centrum er (x_c ; y_c) = (60 ; 75) og halvakserne er a = 30 og b = 15 . Hvilke intervalgrænser tænker du på?

Hov, dem har jeg ikke skrevet i mit spørgsmål her.

f(x, y) er oprindelig udledt fra to andre funktioner med intervalgrænserne: x in [0;120]  , y in [0;150]

Jeg tænker det ikke er en tilfældighed? Fordi jeg skal jo finde ud af hvordan centrum og halvakserne er fundet i første omgang. 

Ja, det ser ud til, at ellipsen lige netop passer inden i det rektangel, der fremstilles af de to intervaller. Halvakserne er så de halve intervallængder.

Jeg kan stadigvæk ikke udlede hvor værdierne for a og b kommer fra. Derudover virker det fuldstændig tilfældigt at elipsen er centeret i det givne interval.

Numrene opstår ud af det blå luft for mit vedkomne. 

Akserne for ellipsen er udledt i #1. Opgavestilleren har så bare angivet intervaller for x og y, så det passer med at få hele ellipsen med.

Jeg forstår stadigvæk ikke hvor tallene her kommer fra i #1

#11

Funktionen f(x , y) er defineret i #0 som

f(x , y) = -x² + 120x - 4y² + 600y ,

og for et reelt tal t defineres niveaukurven N(t)  som kurven med de punkter (x , y), der tilfredsstiller

N(t): f( x, y) = t .

Niveaukurven N(25200) er da kurven med de punkter (x , y) , der tilfredsstiller

f(x , y) = 25200 . I #1 indsatte jeg udtrykket for f(x , y) og reducerede det.