Argument OK?

Hvordan i alverden kan du dog drage den slutning. Du har løst ligningen g'(x) = 0 , som viser, hvor g(x) har lokale ekstrema.

Derimod kan man se på g'(x) = 1+cos(x) . Vi ved, at for alle x er -1 ≤ cos(x) ≤ 1 , så derfor må der for alle x gælde, at 0 ≤ 1+cos(x) ≤ 2 . Her er det afgørende, at 0 ≤ 1+cos(x) for alle x, og du har ovenfor i #0 fundet de diskrete x-værdier, for hvilke 1+cos(x) = 0. For alle andre x-værdier må der derfor gælde, at 0 < 1+cos(x) . Det vil altså sige, at g'(x) ≥ 0 for alle x, og der gælder kun g'(x) = 0 for de diskrete værdier x = (2k-1)π , hvor k gennemløber mængden af hele tal . Det følger heraf, at g(x) er voksende overalt. Desuden gælder det, at g(x) → -∝ for x → -∝ , og g(x) → ∝ for x → ∝ , da sin(x) er begrænset for alle x. Da endelig g(x) er kontinuert, følger det, at ligningen g(x) = c har netop een løsning for ethvert reelt tal c.

Ok. Har skrevet følgende:

Hvis g(x)=c kun har en løsning, så betyder det at g(x) skal enten være helt voksende eller helt aftagende for hvis den pludselig bliver "flad" ved en vendetangent eller pludselig skifter "retning"  så får x to værdier ved en y-værdi. Hvilket betyder at g(x)=c har to løsninger.

Fort at undersøge g(x)'s hældning finder jeg derfor differentialkvotienten g'(x).

g'(x) = 1 + cos(x)

Vi ved at cos(x) kun antage værdier fra -1 til 1 målt i radian.

Derfor ligger g'(x) mellem 0 og 2

Men hvorfor kan jeg se bort fra at g'(x) = 0 ?

AHA! Jeg går lige skridtet videre ved g'(x)=0 er det en vendetangent og det er iorden at det er en vendetangent, for ved vendetangenter er der ikke to x værdier som giver den samme y-værdi.

Er det rigtigt?

Og endvidere kan jeg se, at g(x) går mod uendelig når x gør det - hvilket betyder at definationsmængden er alle reelle tal og at funktionen er kontinuert, og at c derfor altid vil have en løsning og aldrig ingen.

???

#3 - Ja, det er rigtigt. Det er fortegnsvariationen for g'(x) omkring et nulpunkt for g'(x) , der afgør, hvordan g(x) opfører sig i nulpunktet. Da g'(x) > 0 for værdier mindre end nulpunktet og for værdier større end nulpunktet, kan man slutte, at g(x) også er voksende i et sådant nulpunkt for g'(x).

Definitionsmængden er alle de reelle tal; men det følger af, at udtrykket for g(x) kan beregnes for alle x. Af opførslen for g(x) for x gående mod ±∝ kan du derimod se, at værdimængden for g(x) også er alle de reelle tal, og derfor er der en (og kun een) løsning til g(x) = c, for ethvert reelt c.

Ok, så det at definationsmængde og værdimængde er alle reelle tal gør at funktionen er kontinuert?

Mange tak! Det har helt klart gjort mig klogere :)