Matematik
Omskrivning fra ΔA til A
Et lille stykke areal (cirkel af en "ring") kan skrives som:
ΔA = 2π*(r/h)*x*(s/h)*Δx
<=>
A = 2π*r*s/(h2) ∫ xdx , hvad sker der med Δx?
Jeg forstår godt at man kan udelade konstanterne udenfor integralet, men jeg har ikke helt fat i hvad der sker med Δx. Min lærer sagde kun at Δx bliver skrevet som dx, men jeg synes det lyder lidt meningsløst da dx ≠ Δx, ikke sandt?
Måske noget med at man dividerer med Δx på begge sider, men hvad så? Noget med tretrinsreglen i differentiering?
ΔA/Δx = 2π*(r/h)*x*(s/h)
Svar #1
11. juni 2010 af Jerslev (Slettet)
#0: Gøres delta x infinitisimalt lille vil delta A blive til dA, mens delta x bliver til dx (forskellen på delta x og dx er blot, at dx er et infinitisimalt stykke).
Herefter kan du integrere op på hver side.
Svar #2
11. juni 2010 af Andersen11 (Slettet)
Kvotienten ΔA/Δx er differenskvotienten for funktionen A(x) . Da Δx ikke forekommer på højre side i udtrykket
ΔA/Δx = 2π*(r/h)*x*(s/h) ,
er det klart, at differenskvotienten har en grænseværdi for Δx → 0 . Denne grænseværdi er selve udtrykket på højre side, og den er også differentialkvotienten dA/dx, så beregningen viser, at
dA/dx = A'(x) = 2π*(r/h)*x*(s/h) .
Dernæst fås funktionen A(x) selv som en stamfunktion til udtrykket på højre side, altså det integral, du har i #0 .
Svar #3
11. juni 2010 af XiphiasFO (Slettet)
Siger man så at
ΔA/Δx = 2π*(r/h)*x*(s/h) → dA/dx = A'(x) = 2π*(r/h)*x*(s/h) , da Δx → 0
Udtrykket i højre side forandres ikke, fordi Δx indgår ikke i udtrykket og derfor gælder det som jeg har sagt?
Og så man kommer til at få
∫ A'(x) dx = ∫ 2π*(r/h)*x*(s/h)dx
A(x) = ∫ 2π*(r/h)*x*(s/h)dx
Svar #4
11. juni 2010 af Andersen11 (Slettet)
#3
Ja. Udtrykket for ΔA/Δx er en differenskvotient, men da Δx slet ikke indgår i udtrykket på højre side, er det klart, at det har sig selv som grænseværdi for Δx → 0, og derfor er differentialkvotienten dA/dx lig med udtrykket for ΔA/Δx .
Skriv et svar til: Omskrivning fra ΔA til A
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.