Differentialregning - optimering

Start ned at opstil en funktion for overfladearealet ud fra de givne oplysninger. Isoler derefter en variabel i udtrykket for volumen (V=1000=lbh) og substituer den i udtrykket for overfladearealet. Så burde du have en funktion med én variabel som du kan optimere - du skal her minimere.

Men hvis jeg har fundet ud af at funktionen kommer til at hedde V(x)=(b+4*h)*l*h, hvad siger du så jeg skal?

Det er ikke V du skal optimere; den er jo fastsat til 1000cm^3. Du skal optimere A(x), overfladearealet. Opstil et udtryk for det  først:).

Er vi ikke enige om at A = l*h*4+l*b?

Er vi ikke enige om at A = l*h*4+l*b?

Jeg får

A=2lh+2hb+lb=2h(l+b)+lb

Husk der ikke er låg på kassen :).

Derudover har du jo

l=3b og b=2h

Så får du ved substitution

Ja, selvfølgelig.

Men når du siger optimering hvad mener du så helt konkret?

Se her, hvordan jeg ville løse din opgave med optimering. Du har

l=3b og b=2h

Så får du ved substitution

l=3*(2h)=6h

og kan skrive

A = 2h(l+b)+lb = 2h(2h+6h)+6h*2h = ... (1)

Reducer (1). Du ved at du har V=1000=lbh. Brug at b=2h og isoler h i udtrykket:

1000=lbh=2h²l

h=(500/l)^0.5

Indsæt i (1) og reducer igen. Så har du et udtryk for A(l), hvor l jo er den eneste variabel, som du differentierer og sætter lig med nul, og finder et minimumspunkt for (dette er selve optimeringen - og minumumspunktet svarer til den værdi af l der giver det mindste overfladeareal; en vandret tangent. Og du kender jo selv betingelserne for et minimumspunkt). Derefter bruger du de forskellige relationer for at kunne udtrykke l og h således at du har alle kassens dimensioner.

Du kunne også gøre det på andre simplere måder, tag b eller h som den uafhængige variabel fx.
 

Super - tak!