Elevationsvinklen

Tegn det op i et koordinatsystem først

Det kommer an på om bolden skal lige akkurat over nettet eller hvad.

Der er ikke nok oplysninger der.

Karam

den skal lige over nettet!

                 V_eleva = tan^-1(0,5/12)

Nemlig. Det du gør i realiteten (for at udregne det) er som ErikMorsing skrev (selvom han ikke var helt vågen :b) at tegne det ind i et koordinatsystem, så du finder en retvinklet trekant. Denne kigger du så på ved hjælp af de simple trigonometriske regneregler du kender fra matematikken.

Karam

Der er tale om en opgave i det skrå kast. Elevationsvinklen φ er den vinkel, som hastighedsvektoren danner med vandret til det tidspunkt, hvor tennisbolden sendes af sted fra ketcheren.

#6

Det er fuldstændig korrekt, man kan ikke blot betragte boldens banekurve som en ret linie, men derimod som en parabel, hvoraf følger at formlerne for det skrå kast skal benyttes.

Jeg har fået 2α=37,65⁰  ⇒α=18,83⁰

x=24m=v_0x*t⇒    1) t=24/v_0x

2)v_0y=g*t =g*24/v_0x        v_0x *v_0y= 235,7

v_0x=v₀cosα

v_0y=v₀sinα

235,7=v₀²sinα*cosα                                     v₀= 100/3,6= 27,78m/s

2*235,7/27,78²= 2*sinα*cosα

sin2α=0,61084⇒α=18,83⁰

uden for mange mellemregninger :)

Lad os indføre et retvinklet koordinatsystem (x, y) med begyndelsespunkt (0, 0), hvor bolden starter, med x-aksen i vandret retning, positiv mod nettet, og med y-aksen i lodret retning, positiv opad. Vi sætter tiden t=0 til det tidspunkt, hvor bolden fyres af. Koordinaterne til bolden som funktion af tiden t er da, idet vi ser bort fra luftmodstand,

x(t) = v_x·t    (konstant bevægelse i vandret retning med farten v_x),

y(t) = -(1/2)·g·t² + v_y·t   (accelereret bevægelse i lodret retning, tyngdeacceleration g pegende nedad, begyndelsesfart v_y)

Der gælder da, at begyndelsesfarten v₀ er bestemt ved

v₀² = v_x² + v_y²

Indfører vi elevationsvinklen φ som den vinkel, som hastighedsvektoren danner med vandret til tiden t = 0, har vi

tan(φ) = v_y/v_x , og dermed

v_x = v₀·cos(φ)   og   v_y = v₀·sin(φ)

Vi søger nu den tid t₀, som bolden er om at tilbagelægge strækningen x₀ (= 12m, afstanden til nettet) i vandret retning. Da farten er konstant i vandret retning, får vi

t₀ = x₀/v_x = x₀/(v₀·cos(φ))

Boldens y-koordinat til tiden t₀ er da

y(t₀) = -(1/2)g·t₀² + v_y·t₀ = -(1/2)g·x₀²/(v₀²·cos²(φ)) + x₀·sin(φ)/cos(φ).

Hvis bolden lige netop skal komme over nettet, må vi have, at y(t₀) = y₀ , hvor y₀ er forskellen mellem nettets højde og boldens højde til starttiden t=0 (her er y₀ altså = 0,5m). Vi ønsker derfor at finde φ, så at

-(1/2)g·x₀²/(v₀²·cos²(φ)) + x₀·sin(φ)/cos(φ) = y₀ ,

hvor vi kender g, x₀, y₀, og v₀ . Ved at kvadrere denne ligning finder vi en 2.-gradsligning i cos²(φ) :

(x₀² + y₀²)·cos⁴(φ) + (g·y₀/v₀² - 1)·x₀²·cos²(φ) + (1/4)g²·x₀⁴/v₀⁴ = 0

Med x₀ = 12m, y₀ = 0,5m, v₀ = 100km/t = 27,77778m/s, og g = 9,82m/s² , finder vi to forskellige værdier for elevationsvinklen φ, der lige netop vil få bolden over nettet, nemlig

φ = 6,792517º , svarende til v_x = 27,583m/s og v_y = 3,285m/s , og

φ = 85,593427º , svarende til v_x = 2,134m/s og v_y = 27,696m/s .

En vilkårlig elevationsvinkel mellem disse to vinkler vil få bolden over nettet i forskellige højder over nettet. Pointen i tennis er nok at få bolden over nettet så tæt på nettet som muligt uden dog at røre nettet.

Vinklen, som mathon foreslog i #4, er vinklen for den geometriske sigtelinie

α = tan^-1(y₀/x₀) = tan^-1(0,5/12) = 2,3859º .

Starter vi med denne elevationsvinkel, tager det tiden 0,432s at tilbagelægge strækningen x₀ (=12m) i vandret retning. I det tidsrum når bolden at falde 0,918m i lodret retning. Forsøger vi at korrigere sigtelinien med denne ekstra højde, får vi en ny elevationsvinkel

α₁ = tan^-1((0,5m+0,918m)/12m) = 6,739º . Denne fremgangsmåde kan vi iterere et par gange, og vi vil hurtigt konvergere mod vinklen φ = 6,792517º , som vi fandt ovenfor ved løsning af 2.-gradsligningen i cos²(φ) .

     beregning af
     elevationsvinkel med bolden anbragt i koordinatsystemets origo:
                     se

     detaljer
          se

Beklager min misinformation mht.

v0y=g*t denne formel er ikke korrekt.

burde have heddet: v_y= -gt + v_0y  

og som integreret giver: y= (-1/2)gt² + v_0y*t +y₀             

y-y₀=1,0-0,5= 0,5m

hvilket vil ændre resultat

se svar #9