lineær algebra

a) Man viser om to matricer A og B at B = A^-1 ved at vise at både AB = I og BA = I . Vi bemærker, at E·E = nE . Ved udregning finder vi, idet  _n betegnelsen droppes:

(aI + bE)·(1/a)(I - b/(a+nb)E) = I - b/(a+nb)E + (b/a)E -b²/(a(a+nb))E² = I +(b/a - b/(a+nb) - nb²/(a(a+nb)))E

   = I + (ab + nb² - ab -nb²)/(a(a+nb))E = I .

Tilsvarende vises at

(1/a)(I - b/(a+nb)E)·(aI + bE) = I

 Tak for dit svar. Ved du hvordan man løser b og c?

c. For en   egenværdei λ til en matrix C gældet |C - λI|=0 og n- rangen af matricen C -λI er multipliciteten. Er C = aI+bE er C-aI =bE,  og C-(a+nb)I = bE - nbI = b( E - nI).  Den første matrix har indlysende determinanten 0 for n > 1og rangen 1. For den sidste  skal du bevise at determinanten af E-nI er 0. Det kan man få af spørgsmål b. Da  den samlede multiplicitet ikke kan være større end n og den anden egenvektor har multipliciteten n-1 må multipliciteten af den sidste egenvektor være 1.

#3  Tak

 I opgave b kan du induktionh efter n. Lader du Dn betegne den n×n matrix, som har et b i øverste venstre hjørne, a+b i resten af diagonalelementerne samt b i resten af matricen gælder

det(D_n) = a^n-1b

Det(C_n+1) = (a+b)*det(C_n)-n*det(D_n)

det(D_n+1) =b*det(C_n) -n*det(D_n)

Ovenstående ligninger skal selvfølgelig bevises. For den første sker det ved induktion. For de 2 andre skal du rækkeudvikle af 1. række  underdeterminanter.

Jeg vil råde dig til at regne alle ud efter formlerne for n op til og med mindst 4, da man skal være meget opmærksom på rækkeudviklingerne.

For det sidste led i de 2 sidste formler skal du bytte om på rækkerne i underdeterminanterne for at få det til at stemme.