Matematik
Partielt afledte
Det skal vises, at funktionen f: R2→R givet ved:
f(x,y) = gaffelforskrift
1) sin(x,y)/x for x≠0
2) y for x=0
har partielle afledte ∂f/∂x og ∂f/∂y i R2. Desuden skal der svares på, hvorvidt f er differentiabel?
Hvordan kan dette gøres? Jeg har været fraværende til øvelsestimerne, og nu skal snart til eksamen, så alt hjælp til den sidste del er virkelig værdsat. En løsning, hvor jeg kan gennemgå det skridt for skridt, vil være den bedste hjælp.
Svar #3
25. august 2010 af Majlund (Slettet)
Ok... Jeg ved ikke hvilken definition I har på differentiabel for funktioner af flere variable. Jeg har en der hedder:
"En funktion f er differentiabel i a hvis der findes et entydigt tangentplan, h, til f i a."
Puuh ha... Tangentplaner... Det gider vi ikke... Vi vil i stedet kigge på om funktionen er en C1-funktion.. (Jeg håber I har været forbi det udtryk.. C1-funktioner er alle de funktioner der kan differentieres (mindst) 1 gang, og hvis (partielt) afledte er kontinuerte.
Jeg har følgende definition på C1:
"En funktion, f, defineret på en åben mængde, A, er C1 hvis de partielt afledte eksisterer på A og er kontinuerte."
Jeg har mine definitioner fra Tore August Kro's "Funksjoner av flere variable", hvis du vil henvise.. Definitionerne hedder hhv. definisjon 2.65 og definisjon 2.48.
Udregn de partielt afledte.. Start evt. med ∂f/∂y. Det er blot at differentiere en sammensat funktion, og giver derfor:
∂f/∂y= gaffel:
cos(x·y) for x≠0
1 for x=0
Det ses at den afledte er kontinuert på hele R2 da cos(xy)→1 for x→0.. Jeg håber vi er enige så langt...
Gør det samme for ∂f/∂x. Denne gang er det en smule mere besværligt at differentiere, da funktionen er produktet af to funktioner, nemlig sin(xy) og 1/x. Bruges reglen for at differentiere produkter af funktioner, fås at
∂f/∂x = gaffel:
ycos(xy)/x - sin(xy)/x2 for x≠0
0 for x=0
Vis at også denne partielt afledte er kontinuert for alle (x,y)∈R2.
Denne gang er det igen lidt mere besværligt at vise at ycos(xy)/x - sin(xy)/x2 →0 for x→0, men det kan lade sig gøre... Det vil jeg lade være op til dig at finde på den smarte omskrivning der muliggør dette... Jeg tror L'Hôpitals regel vil være en fornuftig angrebsvinkel igen...
Svar #4
25. august 2010 af Majlund (Slettet)
åhh, forresten... C1 er et stærkere krav end differentiabilitet, så når vi har vist at funktionen er C1 ved vi at den er differentiabel...
Skriv et svar til: Partielt afledte
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.