Løs ligning med brøker (Sydsæter)?

Har du skrevet ligningen korrekt? For x=2 er ikke løsning i den ligning, du har formuleret her.

#0: Vis dine udregninger.

Du har vist sat to parenteser forkert.

(x+1)^2/(x(x-1))+(x-1)^2/(x(x+1)-2(3x+1)/(x^2-1)=0

er ligningen vist. Gang igennem med x(x-1)(x+1) og indse da, at du har

(x+1)^3+(x-1)^3-2x(3x+1)=0

som du kan udregne, du får da

x^3+1^3+3x^2*1+3*1^2*x+x^3-1^3-3x^2*1+3*1^2*x-2x(3x+1)=0,

du kan reducere, hvorved du opnår

2x^3+6x-2x(3x+1)=0

og du ser, at

2x(x^2+3-3x-1)=0 (bemærk fortegnet!)

så

2x(x^2-3x+2)=0.

Dette kan også skrives

2x(x-1)(x-2)=0

hvormed x=2 er eneste løsning, idet vi jo må antage, at x=-1, x=0 og x=1 ikke er gyldige, da de jo ikke er i funktionens definitionsmængde.

#3

Der mangler en lille parentes i dit første udtryk her:

(x+1)²/[x(x-1)] + (x-1)²/[x(x+1)] - 2(3x+1)/(x²-1) = 0 ;

men ellers er fremstillingen i #3 udmærket.

#1: Nej, der er vist en fejl, jeg prøver lige at rette det: (x+1)^2/(x(x-1))+(x-1)^2/(x(x+1))-2(3x+1)/(x^2-1)) = 0

#2: Jeg har forsøgt mig med mange forskellige måder, men fx har jeg gjort følgende:

(x+1)^2/(x(x-1))+(x-1)^2/(x(x+1))-2(3x+1)/(x^2-1)) = 0

Udregner fællesnævner for de to første led:

((x+1)^2 * (x^2-x) + (x-1)^2 * (x^2+x)) / (x(x-1) * x(x+1)) - 2(3x+1)/(x^2-1) = 0

Reducerer nogle af leddene i nævneren med nogle i tælleren:

(x+1)^2 + (x-1)^2 - 2(3x+1)/(x^2-1) = 0

Ganger 2 op i tælleren:

 (x+1)^2 + (x-1)^2 - (6x+2)/(x^2-1) = 0

Ganger med (x^2-1) i alle led:

(x+1)^2 * (x^2-1) + (x-1)^2 * (x^2-1) - (6x+2) = 0

Benytter kvadratsætningen og ganger ind i parenteserne:

(x^2+1+2x)(x^2-1) + (x^2+1-2x)(x^2-1) - (6x+2) = 0

x^4-x^2+x^2-1+2x^3-2x+x^4-x^2+x^2-1-2x^3+2x-6x-2 = 0

Reducerer til

2x^4-6x-4 = 0

 Noget må jeg have gjort forkert, for denne ligning kan jeg ikke løse for x = 2.

Efterfølgende ganger jeg ind i parenteserne og ender efter reduktion ud med en (ikke-simpel) fjerdegradsligning, hvor det i hvert fald ikke passer, at x = 2.

#3: Jeg er helt med på din gennemgang (og tak for den!) bortset fra, at jeg ikke kan se, hvorfor jeg vælger at gange igennem med x(x-1)(x+1) - altså, hvordan kommer man på den idé?

#6

De tre brøkers nævnere er x(x-1) , x(x+1) og x²-1 = (x+1)(x-1) . Derfor forlænger man med noget, som alle tre nævnere går op i, nemlig x(x-1)(x+1) .

#7: Er der en regneteknisk måde, hvorved jeg kan beregne, at det lige netop er nævneren x(x-1)(x+1), som alle tre nævnere går op i, eller er det noget, som jeg "bare skal kunne se ud af de tre nævnere"? Jeg er med på, at jeg er nødsaget til at gange et x på (x+1)(x-1) for at alle nævnere kan reduceres fuldt ud, men det ville være rart, hvis det var noget, som jeg ikke bare skulle kunne se :-)

#8

Se på bestanddelene, faktorerne, i de tre produkter: x, (x-1), og (x+1) . Produktet af dem er den mindste størrelse, som de alle tre går op i.

Tusind tak! Det hjalp virkelig meget!