Beregning af arealet i en trekant i en graf

Bestem tangentens ligning og find skæringspunkterne mellem tangenten og koordinatakserne. Det giver kateterne i trekanten, og trekantens areal kan da umiddelbart beregnes.

Differentier funktionen. Indsæt 1 på x´s plads i differentialkvotienten,  og du har tangentens hældning i 1,3

Du har nu a, x og y værdier, og disse indsættes i y = ax + b, og b værdien kan bestemmes, og tangentens ligning er fundet.

Nu kan du bestemme hvor linien skærer akserne og arealet kan bestemmes

 Jeg er lidt forvirret over hvad a, x og y er?!

#3

Tangenten gennem (1,3) har hældningen f'(3) = -1/3 . Tangentens ligning er derfor

y = -(1/3)(x-1) + 3 = -(1/3)x + 10/3

Tangenten skærer y-aksen i (0 ; 10/3) og den skærer x-aksen i (10 ; 0) .

Den af tangenten og koordinatakserne afgrænsede trekant er da en retvinklet trekant med kateterne 10 og 10/3 , og trekantens areal er

A = (1/2)·10·(10/3) = 100/6

a er tangentens hældning. Den finder du ved at indsætte x  værdien 1 i differentialkvotienten.

x og y(1,3) er koordinatsættet for det punkt hvor tangenten rører kurven

Hvad skal man starte med, for at finde tangentens ligning?

Differentier ligningen y = 3/x

y` = -3/x²    Dette er et udtryk for hælningen for ethvert punkt på kurven y = 3/x

Da du skal finde hældningen for kurven hvor x = 1 sættes 1 ind på x`s plads i det differentierede udtryk

y`= -3/1² = -3 

Hældningen er altså -3 der hvor x = 1

x og y er punktet 1,3 og hældningen a er -3

disse værdier sættes ind i ligningen y = ax + b

3 = -3 * 1 + b

b = 6

Nu har du alle de værdier som du skal kende for at skrive ligningen

y = -3x + 6

Mange tak, jeg har fundet ud af den første opgave nu. Men i den anden opgave skal jeg løse samme opgave, med for en tangent som rører i (-2,f(-2)). Og jeg kan ikke rigtig se hvordan jeg skal starte? Er det nogle, som vil hjælpe mig skal aflevere min hjemmeregning i morgen.   

#8

Det er helt samme fremgangsmåde som i #4. Bestem tangentens hældning f'(-2) og dens røringspunkt (-2 , f(-2)) og opstil så tangentens ligning.

 Problemet er bare, at jeg ikke aner helt hvordan man starter på det. 

I den første

y=3/x --> y'(x0)=-3/x0^2

y'(1)=-3/-1^2 = -3 Dvs. hældningen er -3

Jeg kan bare ikke se hvordan man skal starte på den anden?

tangentligning i (1,3):

                                             y = -3x + 6

som omskrives til akseskæringsformen

                                             x/2  +  y/6   =   1

som

                 skærer x-aksen i
                                        (2,0)

                 skærer y-aksen i
                                       (0,6)

de afskårne akse-stykker er kateter i den retvinklede trekant
hvorfor trekantens areal
er
                 T = (1/2)·2·6 = 6
 

 Det forvirrer mig at der står (-2,f(-2)), og ikke i lige som i den anden. 

opgaveteksten går blot et skridt videre
i "undervisningen" af dig.

             f(-2) = 3/(-2) = -(3/2)

så opgaveteksten nu kunne have været:

Beregn arealet af den trekant, der begrænses af tangenten i (-2,-(3/2)) og koordinatakserne.
 

Nårh, mange tak :)
Er der ikke noget x? Jeg skal bruge x så jeg kan finde hældningen :)

        f '(x_o) = -3/x_o²

        f '(x_o) = -3/(-2)² = -(3/4) 

 Hvor forsvinder (3/2) 2-tallet hen? 

tangentligningen i (-2,-(3/2))
er
                     y = -(3/4)·(x-(-2)) - (3/2)

Den udgør det i #15 ?

Hvilken hældning har (-2;-2), hvordan finder man ud af det ?

            ...et punkt har ingen hældning