Sfærisk trigonometri

Jeg er ikke rigtig klar over dine forudsætninger og sfærisk trigonometri har jeg ikke beskæftiget mig meget med og det er langt tilbage i tiden. Her er en side hvor du muligvis kan finde noget nyttigt.

http://mathworld.wolfram.com/SphericalTrigonometry.html

For A indsætter du φ=0 og θ=90º-b og indsætter i formlen for (x ; y ; z)

For B indsætter du φ=C og θ=90º-a i formlen for (x ; y ;z)

hvorved formlerne for OA og OB fremkommer.

# 2 - Dette har jeg gjort, og jeg kan ikke få det til at give det angivede, derfor spørger jeg igen om hjælp

# 1 - hvis du kan forklare hvordan der gives de angivne koordinator ville det være en stor hjælp!

#3

For A indsætter du φ=0 og θ=90º-b

x = rcos(θ)cos(φ) = rcos(90-b) = rsin(b)
y = rcos(θ)sin(φ) = rcos(90-b)·0 = 0
z = rsin(θ) = ssin(90-b) = rcos(b)

For B indsætter du φ=C og θ=90º-a

x = rcos(θ)cos(φ) = rsin(a)cos(C)
y = rcos(θ)sin(φ) = rsin(a)sin(C)
z = rsin(θ) = rcos(a)

f.eks x for A, er der en regel der siger at: rcos(90-b) = rsin(b) ??

#6

Det er en generel regel, at cos(90º-x) = sin(x) . Tænk på komplementærvinkler i en retvinklet trekant.

Okay, tak så har jeg forstået det med koordinatorne, men så går jeg død igen i det næste:

vinklen mellem vektor OA og vektor OB er lig med buen c, og sklarproduktet vektor OA • vektor OB er da: (1)

vektor OA • vektor OB = |vektor OA| |vektor OB| cos c = r^2 cos c

Beregnes skalarproduktet ved hjælp af koordinatudtrykket fås: (2)

vektor OA • vektor OB = r^2 sin(a) sin(b) cos(C) + r^2 cos(a) cos(b)

Sammenholdes de to udtryk for vektor OA • vektor OB fås:

cos(c) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b) cos(C)

Hvis jeg i (2) beregner skalarproduktet via de fundne koordinator, hvad gør jeg så i (1)??

#8

I (1) bruger du, at du kender vinklen c mellem de to vektorer og deres længder

I (2) bruger du, at du kender koordinaterne for de to vektorer

#9

I (1) - hvorfra kender jeg dette?

#10

Vinklen mellem de to vektorer er jo siden c i den sfæriske trekant.

ja, men hvordan giver det

r^2 cos c

og kan man virkelig også beregne skalarproduktet ved brug af længden på vektorer og vinklen mellem dem?

hvad er det for en formel?

#12

Skalarproduktet mellem to vektorer a og b er jo produktet af de to vektorers længder ganget med cosinus til vinklen ψ mellem dem, dvs

a•b = |a||b|·cos(ψ)

Tusind tak, du har været til stor hjælp. Nu tror jeg godt jeg kan finde ud af hele beviset :-)

Jeg ved godt, at formlen fra #13 gælder, men jeg har svært ved at reducere længden af de to vektorer. Er der nogen, som kan hjælpe mig?
Jeg ved at længden af begge vektorer skal give r, og ved at gange dem, så får jeg selvfølgelig r^2, men hvirdan ved jeg, at det er r? 
(vektor) A=(roat)(r*sin(b))^2+(r*cos(b))^2

(vektor) B=(roat)(r*sin(a)*cos(C))^2+(r*sin(a)*sin(C))^2+(r*cos(a))^2

Jeg har ikke så godt styr på, hvordan cosinus og sinus fungerer, når man ganger de to størrelse, så jeg har brug for hjælp med mellemregningerne:)

 

#15

Hvad mener du med "(roat)" ?

Punkterne A og B er punkter på en kugle med centrum i O og med radius r. Derfor er vektorernes længder lig med r.

Her har benytter man Pythagoras:

|OA|² = r²·sin²(b) + r²·cos²(b) = r² ·(sin²(b) + cos²(b)) = r² ,

|OB|² = r²·sin²(a)·cos²(C) + r²·sin²(a)·sin²(C) + r²·cos²(a)

          = r²·sin²(a)·(cos²(C) + cos²(C)) + r²·cos²(a)

          = r²·sin²(a) + r²·cos²(a)

          = r²