Matematik
vektorer i rummet
Hvilke punkter på linjen gennem A(21,16,17) og B(31,22,24) er centrum for en kugle med radius 6 og med tangentplan med ligningen:
x + 2y + 2z - 25 = 0
Jeg ved godt at kuglens radius er afstanden fra centrum til planen, så jeg bruger denne formel:
r = (|ax0 + by0+cz0 + d|) / |n|
Men hvordan skal jeg benytte mig af ligningen? - altså hvilke tal, skal jeg indsætte
Håber jeg kan få hjælp :)
Svar #1
07. oktober 2010 af mette48 (Slettet)
Punkter der ligger på linien:
(21,16,17)+t(31-21,22-16,24-17) kan være centrum for kuglen
Svar #2
07. oktober 2010 af chr42 (Slettet)
Du kender r og planen, så du skal finde x0, y0 og z0.
Du ved punktet ligger på linjen gennem A og B og så burde det kunne regnes ud.
Svar #3
07. oktober 2010 af elissa92
Okay..
Er det her så rigtigt?
6 = (10*x0 + 6*y0 + 7*z0+d) / √(102 + 62 + 72)
Eller er det langt ude??
Svar #4
07. oktober 2010 af chr42 (Slettet)
Nej, det er helt korrekt. Eneste problem er selvfølgelig, at det er en ligning med tre ubekendte.
Det kan du gøre noget ved, ved at bruge mette48s parameterfremstilling for linjen, som giver dig x0, y0 og z0 udtrykt ved et enkelt tal t, og så har du en ligning med en ubekendt.
Svar #5
07. oktober 2010 af elissa92
Okay. Nu har jeg fundet mine 2 t værdier. Men hvor skal jeg indsætte dem?
Svar #6
07. oktober 2010 af chr42 (Slettet)
I parameterfremstillingen for linjen.
Og så kan du jo tænke over, hvorfor der er to værdier:-)
Jeg synes planen har skiftet forskrift undervejs i udregningerne - og du mangler en værdi for d.
Svar #7
07. oktober 2010 af elissa92
Er linjens parameterfremstilling ikke:
1*(21+t*10)+2(16+t * 6) + 2(17 + t * 6) + 2(17+t*7)-26
Eller tager jeg helt fejl?
Svar #8
07. oktober 2010 af chr42 (Slettet)
Parameterfremstillingen er den Mette48 har skrevet op.
Det er mere din plan, der ser ud til at have skiftet fra x + 2y + 2z - 25 = 0 til 10x+6y+7z+d=0 undervejs et sted uden at jeg opdagede det.
Svar #10
07. oktober 2010 af chr42 (Slettet)
I din formel for afstanden fra punkt til plan er det punktets koordinater, der er x0, y0 og z0, mens a, b, c og d er konstanterne fra planen, så du har egentlig at
6=(x0+2y0+2z0-25)/√(12+22+22)
Der sætter du så x0=21+10t , y0=16+6t og z0=7+7t ind og finder t.
Svar #12
07. oktober 2010 af chr42 (Slettet)
Du er god:-)
Det er mig, der ikke følger ordentligt med. Jeg forstår nu stadig ikke hvordan du får to løsninger.
Svar #13
07. oktober 2010 af elissa92
Jeg får min ene t til at være -1,604 og -2,354
Det er MathCad jeg bruger
Svar #15
07. oktober 2010 af elissa92
Hmm.. Dit er faktisk rigtigt.
Det stemmer ihvertfald overens med facit :/
Svar #17
07. oktober 2010 af elissa92
Okay.
Nu er jeg gået i stå med endnu en opgave.. Håber du kan hjælpe mig :)
En kugle med radius 5 har centrum i C (2,2,0), punktet P har koordinaterne P(2,6,3), og en plan α har ligningen
α = 2x - y + 2z - 11 = 0
Find afstanden mellem C og α
Det sådan jeg har gjort, men får et forkert resultat:
dist(C,α) = (|3 * 2 -1 * 2 + 2 * 0 - 11|) / √2^2 + 1^2 + 2^2
Jeg får 2.333, som er forkert
Hvad har jeg gjort galt?
Svar #20
07. oktober 2010 af Andersen11 (Slettet)
#17 -- Det er den korrekte fremgangsmåde. Men det skal være
dist(C,α) = (|2 * 2 -1 * 2 + 2 * 0 - 11|) / √(2^2 + 1^2 + 2^2) = |2-11|/3 = 9/3 = 3