Matematik - Cirkler

Skæringspunkterne er de punkter (x,y), der tilfredsstiller både cirklens ligning og liniens ligning.

Da y = x+1 fra liniens ligning, substituerer man (x+1) i stedet for y i cirklens ligning, hvorved fremkommer en 2.-gradsligning i x, som man så løser. For hver værdi af x, finder man det tilhørende y for skæringspunktet ved at indsætte i liniens ligning.

Skal jeg så sammensætte dem, til to ligninger med to ubekendte?

skæring kræver

                                   x² - 4x + y² + 2y = 11          og       y = x + 1

dvs

                                  x² - 4x + (x + 1)² + 2·(x + 1) = 11                 som forklaret i #1 men her skrevet i detaljer

hvoraf

                                  2x² - 8 = 0

#2

På en måde, ja. Men følg fremgangsmåden i #1 til at få 1 ligning af 2. grad i den ubekendte x. Ved at indsætte y fra den lineære ligning i cirklens ligning, reduceres det til 1 ligning i x.

Men, 2x² - 8 = 0, er da ikke en andengradsligning?

Skal jeg så reducere ligningen, 2x² - 8 = 0, til:

2x² = 8

x² = 6

?

#5

Det er da en 2.-gradsligning, der reduces til

2x² = 8 , og så divideres der med 2 på hver side

x² = 4 , dvs (x+2)(x-2) = 0 .

Ja - nu kan jeg se det, hvad er så næste trin for at opnå de kordinatsæt til hvert af skæringspunkterne?

#8

Find det tilsvarende y for hvert af de mulige x-værdier, se #1. Punkterne skal jo også ligge på linien med ligningen

y = x+1

Skal jeg så gøre det samme, hvor det er y jeg isolerer og finder?

#10

Du har fundet x-koordinaterne til skæringspunkterne mellem linien og cirklen. Find nu for hver af de fundne x-værdier den tilhørende y-værdi ved at udnytte, at skæringspunktet ligger på linien med ligningen y = x+1 .

Ja, min X-koordinater er = (x+2)(x-2), ikke?

Hvis skæringspunktet ligger på linjen med ligningen, y = x+1

Så må mine y koordinater være (x+1)(x-1), eller?

#12

Du skal jo først lige løse ligningen færdig

(x+2)(x-2) = 0 .

(x+2)(x-2) = 0

X, har her to muligheder, enten = -2, eller 2

#14

Ja, det er x-koordinaterne for de to skæringspunkter. Find nu de tilsvarende y-koordinater.

Skal jeg så bare tage, 2 f.eks., (som er mit ene X), og sætte ind i den første ligning?

#16

Du har fundet x-koordinaterne til de to skæringspunkter mellem cirklen og linien. Brug nu liniens ligning til at finde skæringspunkternes y-koordinater. Liniens ligning er en relation, der gælder for sammenhørende (x,y) koordinater for punkter på linien.

Og, liniens ligning er som nævnt :
y = x + 1

Hmm - Jeg ved virkeligt ikke hvad jeg skal gøre her ..

Det der stopper mig er at jeg ikke ved hvad jeg skal bruge y = x + 1, til.

Jeg ved at jeg skal ende med to y - koordinater, men selve metoden/teknikken stopper mig.

#19

Du har fundet en x-koordinat, x = 2, for et af skæringspunkterne mellem cirklen og linien. Punktet ligger derfor på linien med ligningen y = x+1, så y-koordinaten for skæringspunktet opfylder, at y = x+1 = 2+1 = 3. Derfor er (x ; y) = (2 ; 3) det ene skæringspunkt.