lineær differentialligning

Differentialligningen

dy/dx - 2xy = x

kan integreres ved separation af de variable:

dy/dx = x(1 + 2y) , hvoraf

d(1+2y)/dx = 2dy/dx = 2x·(1 + 2y) , så

d(1+2y)/(1+2y) = 2x dx, eller

ln(1+2y) = ∫ 2x dx = x² + k , og dermed

1 + 2y = k·e^{x^2} ,

y(x) = k·e^{x^2} -(1/2) .

Betingelsen y(1) = 0 giver

k = 1/(2e) , så

y(x) = (1/2)·(e^{(x^2)-1} -1)

#0

I dit eget løsningsforslag er p(x) = -2x , ikke -2xy .

ups ja.. det er -2x og ikke -2xy..

men Hvad er integralet af -2x ?

jeg kan ikke regne den ud , :s

og det er ikke en seperation men en lineær differentialligning

#2

∫ (-2x) dx = -x² + k

Ja, det er en lineær differentialligning, og jeg viste i #1, hvordan den kan løses ved separation af de variable. Den kan naturligvis også løses ved brug af færdige løsningsformler, som du selv er i gang med.

Når okay på den måde..

Tak, jeg prøver at få det samme resultat som du fik.

Jeg har nemlig problemer med lineær differentialligninger..

Og til eksamen skal jeg bruge den formel med p(x) og q(x) osv..

Derfor prøver jeg lige at få det samme resultat som dig.

Jeg har fået det til at blive:

1/2 * e^-x^2 +k

#5

Du har p(x) = -2x og q(x) = x, hvoraf

u(x) = ∫ p(x) dx = -x² . Dette indsættes i løsningsformlen

y(x) = e^-u(x) ·( ∫ q(x) e^u(x) dx + c)

      = e^{x^2} ·( ∫ x·e^{-x^2} dx + c)

      = e^{x^2} ·( (1/2) ∫ e^{-x^2} d(x^2) + c)

      = e^{x^2} ·( -(1/2)·e^{-x^2} + c)

      = c·e^{x^2} - (1/2) ,

hvilket svarer helt til løsningen i #1 , bortset fra, at konstanten kaldes k det ene sted og c det andet sted.

jeg forstår princippet her til :

ex^2 ·( -(1/2)·e-x^2 + c)

hvordan bliver din halv til minus halve ?

og hvordan får du så :

c·ex^2 - (1/2) ??

Det drejer sig om at beregne

∫ x·e^{-x^2} dx , hvilket gøres ved substitution t = x² , dt = 2x dx , så

= (1/2) ∫ 2x ·e^{-x^2} dx

= (1/2) ∫ e^-t dt     (t = x²)

= (1/2) ·(-e^-t)      ( t = x²)

= -(1/2)·e^{-x^2}

Resten skulle følge af sig selv.

når halve kommer foran integralet, bliver det så automatisk minus halv ?

                     ∫ x·e^{-x^2} dx

   sæt
            u = -x²    og dermed    xdx = -(1/2)du

hvoraf

                     ∫ x·e^{-x^2} dx = ∫ e^{-x^2} xdx  = -(1/2)·∫ e^udu  = -(1/2)·e^u + C

som ved tilbagesubstitution
giver
                    ∫ x·e^{-x^2} dx = -(1/2)·e^{-x^2} + C
 

               e^{-x^2}·y = -(1/2)·e^{-x^2} + C

               y = Ce^{x^2} - (1/2)                                  gennem (1,0)

               0 = Ce^{1^2} - (1/2)

               C = 1/(2e) = (1/2)·e^-1

hvorfor
               y = (1/2)·e^-1·e^{x^2} - (1/2)

               y = (1/2)·e^{x^2 - 1} - (1/2)

#9

Nej, det kommer fra stamfunktionen til e^-t , se #8.