Side 2 - lokalt min. max saddelpunkt?

#18

Ja, du har ret, t skal tilhøre intervallet [-π/2 ; π/2] for at give x = cos(t) ≥ 0 .

Altså har jeg forstået fremgangsmåden rigtigt:

Argumentationen for, at f har maks og min, er vel bare ekstremalværdisætningen, da D er en lukket, begrænset mængde.

For bestemmelse af ekstrema findes først de partielt afledede (4y² - 2x og 8xy). Så løses ligningssystemet med de partielt afledede lig nul. Da fås punktet (0,0), som vel er et randpunkt grundet betingelsen x≥0. Dernæst benyttes andenafledet testen til at afgøre om punktet er saddel -, maks- eller min.punkt. 

Eller har jeg misforstået det helt?

#22

Man er nødt til at betragte randen særskilt, da ekstrema kun findes i stationære punkter for indre punkter. Det er tilfældigt her, at det stationære punkt ligger på randen af D.

Da f er en kontinuert funktion på en kompakt mængde D, har f et globalt maksimum og et globalt minimum på D.

Ok. Det kan jeg godt se. Men siden (0,0) er et stationært punkt, der ligger på randen, skal man så stadig bruge andenafledet testen, for at afgøre om der er tale om maks -, min -  eller saddelpunkt. Hvis L=(∂²f/∂x²)=-2, K=(∂²f/∂y²)=8x og M=(∂²f/∂x∂y)=8y, så fås Hessematricen:

| -2   0 |

|  0   0 |

og determinanten til det giver 0, hvilket jo ikke bruges til noget. Så det er vel ikke vejen at gå.

#24

Nej, du skal kun betragte randpunkterne.

#24 Du behøver principielt ikke at bruge de anden afledede  selv om saddelpunktet var et indre punkt.  Når du har fundet alle mulige ekstremapunkter, kan du blot finde funktionsværdierne i disse punkter og deraf finde globalt maks og min

Der findes ingen stationære punkter,  da punktet (0,0) er et randpunkt.

Ekstremumspunkterne skal altså findes på randen. I tilfældet hvor x = 0, ligger y mellem [-1;1].

f(0,y) = 0 i alle tilfælde, så det er svært at sige noget om dette, andet end at funktionsværdien er konstant langs y-asken i

intervallet [-1,1]

Hvis vi undersøger halvcirkelskiven, x^2+y^2 = 1, kan vi betragte dette som en bibetingelse og løse problemet

ved brug af lagrange.

#27

På halvcirklen x²+y² = 1, x ≥ 0 (ikke halvcirkelskiven), sæt x=cos(t), y=sin(t) , -π/2 ≤ t ≤ π/2 . Så fås

f(x,y) = 4xy² -x² = 4·cos(t)·sin²(t) - cos²(t) = 4·cos(t) - cos²(t) - 4cos³(t) , og find min og max for denne funktion af t på intervallet [-π/2 ; π/2] .