Grænseværdi Hôpital's regel

har lavet fejl i mellemregningen,

skal være

= lim x→π/2 ( 2sinx√(1-sinx) ) / (cosx)

men kan stadig ikke se hvad det gir'.

Lad os skrive funktionen

h(x) = cos(x) / √(1 - sin(x)) = f(x) / g(x) ,

hvor f(x) = cos(x) og g(x) = √(1 - sin(x)) .

Vi søger at bestemme grænseværdien lim(h(x),x→π/2) . Da både f(π/2) = 0 og g(π/2) = 0, ser vi dernæst på

lim(f'(x)/g'(x),x→π/2) .

Vi har nu

f'(x) = -sin(x) og

g'(x) = -cos(x)/(2√(1 - sin(x))) = -f(x) / (2g(x)) , så heraf fås

lim(f'(x) / g'(x) , x→π/2) = -1 / (-(1/2)·lim(f'(x)/g'(x) , x→π/2) , hvoraf

[lim(f'(x)/g'(x) , x→π/2)]² = 2 , hvoraf

|lim(f'(x)/g'(x) , x→π/2)| = √2

Da cos(x) skifter fortegn ved π/2, mens √(1 - sin(x)) ikke skifter fortegn, får vi, at

lim(cos(x)/√(1 - sin(x)) , x→(π/2)^-) = √2 og

lim(cos(x)/√(1 - sin(x)) , x→(π/2)⁺) = -√2

Forstår ikke helt hvad det er du laver så prøvede noget andet selv. Jeg omskriver cosx.

cosx = ±√(1 - sin²x)

1 - sin²x = (1-sinx)(1+sinx)                                           a² - b² = (a - b)(a + b)

cosx = ±√( (1 - sinx)(1+sinx) )

lim x→π/2 = (cosx) / √(1-sinx)

⇔

lim x→π/2 = ±√( (1 - sinx)(1+sinx) ) / √(1-sinx)           √(1-sinx) går ud.  

lim x→π/2 = ±√(1+sinx)

                 = ±√(2)

men hvordan kan der være to løsninger til en grænseværdi? lim x→π/2 fra højre og fra venstre bør jo give samme grænseværdi, således har jeg i hvert fald forstået det.

#3

Jeg fandt grænseværdien som løsning til en 2.-gradsligning.

Du viser i stedet, at

cos(x)/√(1-sin(x)) = ±√(1+sin(x)) , hvor + vælges for x < π/2 og - vælges for x > π/2 ,

hvilket er mere elegant, da højresiden ikke har en singularitet i π/2, og grænseværdierne kan beregnes umiddelbart. Derimod er funktionen cos(x)/√(1-sin(x)) ikke kontinuert i π/2, og derfor er der forskellig grænseværdi for x→π/2 fra venstre eller fra højre.