Lineær uafhængighed

Sættet af de fire vektorer i 2) er ligeså 'nyttigt' som sættet i 1), idet de som du selv sige udspænder samme rum.

Matematikere kan dog godt lide at se på både nødvendige og tilstrækkelige betingelser, og som du selv er inde på er de fire vektorer i 2) tilstækkelige til at udspænde rummet udspændt af vektorerne i 1), men de er ikke alle nødvendige. Du prøver at udspænde R³ og ved derfor du kun behøver tre vektorer for en basis, du kan således indse at enten ey, ex eller ex+ey er overflødig.

Hvis nu rummet er mere abstrakt end R³ kan det være en fordel med en lineært uafhængig basis, da du således direkte kan aflæse dimensionen, som antallet af vektorer i basisen.

 Jeg har lige endnu et spørgsmål:
Der står i min bog, at et sæt vektorer (a,b,c,d...) udspænder et vektorrum, hvis og kun hvis alle vektorer i V kan skrives som linearkombinationer af disse vektorer. Men burde der ikke stå "at et sæt af lineært uafhængige vektorer"? For hvis vi har vektorer, der både krydser x,y,z-planen i et koordinatsystem, men samtidig har samme retning, udspænder de jo R3, men de kan vel ikke linearkombineres til alle vektorer i R3? 

Du har et stort vektorrum V, f.eks. R³. En basis for dette er eksempelvis ex, ey og ez. Men inden i dette 'store vektorrum' kan du have mindre vektorrum, eksempelvis rummet udspændt af ex og ey.

Til dit sidste spørgsmål gælder, at hvis et sæt af vektorer udspænder hele V (eksempelvis R³) kan alle vektorer i V skrives som (en) linearkombination af de givne vektorer.

 Jamen vektorerne (2,4,6) og (4,8,12) udspænder jo R3, men de kan ikke linearkombineres til alle vektorer i R3.

De to vektorer udspænder ikke R³. Det kan de aldrig gøre, da dimensionen af R³ er 3, og der kun er 2 vektorer, det er mindst en for lidt.

 Nej undskyld, jeg tænkte mig ikke om. Jeg mente at vektorerne (2,4,6), (4,8,12) og (8,16,24) udspænder R3 men alle vektorer i R3 kan da ikke linearkombineres fra disse, da de har samme retning? 

De tre vektorer er jo netop ikke uafhængige, da de to sidste bare er 2 og 4 gange den første. Derfor udspænder de ikke rummet R3, men i stedet rummet

{ (x,y,z)∈R³ | (x,y,z)=k*(1,2,3),k∈R }

som er et rimelig kedeligt en-dimensionalt vektorrum.

 Men det medfører vel at et sæt vektorer, der udspænder et helt vektorrum pr. definition må være lineært uafhængige, og det er det jeg synes er underligt, for mange steder, når man når til hvad en basis er, står der, at det er et sæt vektorer, der både er lineært uafhængige og udspænder rummet, og denne dobbelthed giver jo ikke nogen mening så. Men det er vel også et spørgsmål om, hvordan man helt præcist definerer span, og der er tydeligvis varianter rundt omkring i litteraturen.

Et sæt vektorer, der udspænder et helt vektorrum behøver ikke at være lineært uafhængige. Sættet {(1,0), (0,1), (1,1)} udspænder R², men vektorerne er ikke lineært uafhængige. Sættet {(1,0), (0,1)} udspænder også R², og da vektorerne samtidig er lineært uafhængige, udgør de en basis for R².