Matematik
omdrejningslegeme (V af torus)
Jeg skal ved brug af et cas-program vise, at volumenet V af en torus (baderinge, cykelslange etc.) er:
V = 2 * π * R * r2
Jeg har brugt formlen for volumen af området, der fremkommer mellem to grafer, når de drejes 360 grader omkring førsteaksen:
V = ∫r-r(R+√r2-x2)2-(R-√r2-x2)2dx = 2 * π2 * R * r * |r|
Hvorfor bliver det til den numeriskeværdi af r? Er det fordi radius ikke kan være negativ?
Jeg er ikke sikker på, om jeg har brugt de rigtige grænser.
Vedhæftet tegning af cirklen
Svar #1
11. januar 2011 af Andersen11 (Slettet)
Den korrekte formel er som du har skrevet med integralet med en faktor π foran. Vi får ved udregning af kvadraterne på de toleddede størrelser:
V = π·-r∫r 4R√(r2 -x2) dx = 4πR·[(1/2)x√(r2-x2) + (r2/2)·sin-1(x/r)]r-r
= 4πR·((r2/2)·sin-1(1) - (r2/2)·sin-1(-1))
= 4πR·(r2/2)·((π/2) - (-π/2))
= 2·π2·R·r2
Størrelsen r er en radius og er derfor ikke negativ.
Svar #2
11. januar 2011 af placebo321 (Slettet)
Tak. Jeg har også brugt pi som faktor foran integralet, men jeg glemte at skrive det her. Så vi får dette samme resultat. Men hvordan kan det være, at det er tilladt at sætte -r som nedre grænse, da r ikke kan være negativ?
Svar #3
11. januar 2011 af Andersen11 (Slettet)
#2
Fordi x varierer fra -r til r, altså -r ≤ x ≤ r .
Skriv et svar til: omdrejningslegeme (V af torus)
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.