Matematik
En trekant i et koordinatsystem - Beregning af en vinkel
Hej
Jeg har fået følgende opgave stillet:
--------------
I et koordinatsystem har vinkelspidserne i trekant ABC koordinaterne A(-4, -3), B(5,1) og C(-1,3).
a) Tegn trekant ABC.
Arealet af trekanten kan udregnes ved hjælp af koordinaterne til vinkelspidserne.
Hvis A = (a1 , a2 ) , B = (b1 , b2 ) og C = (c1 , c2 ), kan trekantens areal T beregnes ved:
T = (1/2) * ( S1 - S2)
hvor S1 =a1 *b2 +b1 *c2 +c1 *a2 og S2 =a2 *b1 +b2 *c1 +c2 *a1
b) Brug ovennævnte formler til at vise, at arealet af trekant ABC er 21.
c) Beregn størrelsen af vinkel A .
--------------
Spørgsmål a og b har jeg besvaret.
Ved spørgsmål b satte jeg blot koordinatsættet ind i de to formler, og fik henholdsvis S1= 14 og S2= -28
(1/2) * ((14)-(-28))= 21
Jeg har dog i forbindelse med besvarelsen af spørgsmål c været meget i tvivl.
Mit første forslag er at jeg evt. kunne udlede en S3 og så jeg ved hjælp af cosinusrelation kan beregne den ene vinkel.
Mit anden tanke er om der måske findes en formel hvor jeg ud fra henholdvis S1 og S2 kan beregne en vinkel.
På forhånd tak for hjælpen.
Svar #1
10. februar 2011 af peter lind
Du kan finde arealet på en anden måde nemlig som den numeriske værdi af ½ * |AB||AC|sin(A).Ved at finde længderne og bruge det beregnede areal, kan du finde sin(A)
Svar #2
10. februar 2011 af idenu (Slettet)
@peter lind
Tak for svaret.
Jeg har endnu ikke fået undervisning i vektor regning, så du bliver nødt til at forklare mig hvad der menes med den numeriske værdi.
Svar #3
10. februar 2011 af Andersen11 (Slettet)
Vinkel A kan også findes som vinklen mellem de to vektorer AB og AC .
Svar #4
10. februar 2011 af Andersen11 (Slettet)
Vinkel A kan også findes ved at bestemme hældningskoefficienterne a1 og a2 for linierne gennem A og B , henholdsvis A og C. Hældningeskoefficienten er lig med tangens til den vinkel, som linien danner med x-aksen, og vinkel A er da forskellen mellem de to liniers hældningsvinkler.
Svar #5
10. februar 2011 af idenu (Slettet)
Kan i evt. henvise mig til en side hvor jeg kan læse omkring den grundlæggende vektor teori?
Jeg er godt med på at man som henholdvis Peter siger at man kan finde vinkel via arealformlen og som Andersen siger mellem side AB og AC. Jeg ved dog ikke hvordan jeg beregner eller finder den numeriske værdi eller vektoren
Svar #6
10. februar 2011 af Andersen11 (Slettet)
#5
Længden af vektoren AB finder du som længden af liniestykket AB . Brug punktafstandsformlen til at finde længden |AB| mellem punkterne A og B. Tilsvarende for |AC|.
Svar #7
10. februar 2011 af idenu (Slettet)
@Andersen11
Punktafstandsformlen, som du mener er givet ved:
AB= ((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)^(1/2)
Ikke?
Svar #9
10. februar 2011 af idenu (Slettet)
Koordinaterne var jo henholdsvis: A(-4, -3), B(5,1) og C(-1,3)
AB= ((5-(-4))^2+(1-(-3))^2)^(1/2)= 9,85
AC= (((-1)-(-4))^2+(3-(-3))^2)^(1/2)= 6,71
Derefter ville jeg kunne finde vinklen til A ved at sætte den ind i arealformlen og derefter isolere Sin A:
21= (1/2) * 9,85 * 6,71 * Sin A
Jeg har ikke selv kunne finde ud af at isolere den i hoved, men når jeg bruger min CAS lommeregner får jeg Sin A=0,6354
Vinkel A er derfor: sin^(-1)(0,6354)=39,45 grader
Er dette korrekt, og kan en evt. hjælpe mig med at isolere sin A uden at benytte en CAS lommeregner.
Svar #10
10. februar 2011 af Andersen11 (Slettet)
#9
Længderne er |AB| = √97 og |AC| = √45 . Dine talværdier er korrekt til 2 decimaler.
Dernæst fås
sin(A) = 2T/(|AB||AC|) = 2·21/((√97)(√45)) = 0,635707 (når man ikke afrunder undervejs), og dermed
A = 39,472º
Det er vigtigt ikke at runde af i mellemresultaterne.
Svar #11
10. februar 2011 af idenu (Slettet)
@Andersen11
Yes, så forstår jeg det.
----
Men tror du at det er okay at jeg anvender punktafstandsformlen nu når min opgave lægger op til at jeg benytter de to skrevne formler altså S1 og S2
Svar #12
11. februar 2011 af peter lind
Du har jo benyttet S1 og S2 i spørgsmål a). Der er ingen, der siger du også skal benytte dem i spørgsmål b)
Skriv et svar til: En trekant i et koordinatsystem - Beregning af en vinkel
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.