Matematik
Løsning af kuglens ligning med fire røringspunkter
Jeg har en kugle, hvis centrum har et ukendt koordinatsæt. På kuglen er der fire røringspunkter A(0,5;0,8660;0), B(1;0;0), C(0;0;0) og D(0,5;0,2887;1,041). Jeg kender ikke radius.
Ud fra fire røringspunkter kan der opstilles en kuglens ligning for hvert af de fire punkter.
Dvs.
A: (0,5-x0)^2+(0,8660-y0)^2+(0-z0)^2=r^2
B: (1-x0)^2+(0-y0)^2+(0-z0)^2=r^2
C: (0-x0)^2+(0-y0)^2+(0-z0)^2=r^2
D: (0,5-x0)^2+(0,2887-y0)^2+(1,041-z0)^2=r^2
Nu skulle det så være muligt at løse de fire ligninger og finde centrum og radius. Men her er jeg gået fast. Synes ikke jeg kan finde nogen metode til hvordan man løser dette i hverken mine matematikbøger eller på nettet.
Håber nogen kan hjælpe mig. På forhånd tak
Svar #1
17. februar 2011 af Andersen11 (Slettet)
Af ligning C ser man, at
x02 + y02 + z02 = r2 ,
så denne ligning kan bruges til at eliminere både r2 og de kvadratiske led i x02 , y02, og z02 i de øvrige ligninger. Tilbage er så tre lineære ligninger i de ubekendte x0, y0, z0 , der kan løses med de sædvanlige metoder.
Man ser, at ligning B reduceres til en ligning i x0 alene, som så kan løses og indsættes i de to resterende ligninger i y0 og z0.
Når x0, y0, z0 er bestemt, finder man så r af den ovenstående ligning.
Svar #2
17. februar 2011 af frkhlarsen (Slettet)
tak for svaret. Er dog ikke med på hvad du mener med at eliminere både r2 og de kvadratiske led i x02 , y02, og z02 i de øvrige ligninger?
Svar #3
17. februar 2011 af Andersen11 (Slettet)
#2
Indsæt r2 = x02 + y02 + z02 i ligningerne A, B, og D. ganger man ud, forsvinder de kvadratiske led.
Svar #4
17. februar 2011 af frkhlarsen (Slettet)
Mange tak, har forstået metoden nu :)
Dog har jeg fået C til (-0,5;-0,433;-0,3204), hvilket alle er negative tal.
Det kan jeg ikke forstå, når ingen af de fire punkter var negative, hvordan kan centrum så være negativt?
Svar #5
17. februar 2011 af Andersen11 (Slettet)
#4
Det er heller ikke korrekt. Ligning B giver jo
1 - 2x0 = 0 , så x0 = 1/2
Ligning A giver
0,52 -x0 + 0,8662 -2·0,866y0 = 0 , så
y0 = (0,52 + 0,8662 -0,5)/(2·0,866) = 0,2887 ;
Endelig kan z0 findes af
0,52 -x0 +0,28872 -2·0,2887·y0 + 1,0412 -2·1,041·z0 = 0 , hvoraf
z0 = 0,3604
Radius er da r = (x02 + y02 + z02)1/2 = 0,6806
Svar #6
17. februar 2011 af frkhlarsen (Slettet)
Aha, der ser man bare, så er det vist allerede fra den første udregning, der gik lidt galt for mig.
Prøver lige igen og ser om jeg får nogle bedre resultater (:
Svar #7
17. februar 2011 af frkhlarsen (Slettet)
Nu giver det hele bedre mening. Det var bare en dum regnefejl...
Tak for hjælpen, det var bare alletiders
Skriv et svar til: Løsning af kuglens ligning med fire røringspunkter
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.