Komplekse tal

Det er lettest at løse ved substitution. Isoler x i første ligning og indsæt i den anden.

x=y-1 

som vi indsætter

(y-1)²+y²=-1 <=>

y²+1-2y+y²=-1 <=>

2y²-2y+2=0,

som du løser som

y=(-(-2)±√[(-2)²-4·2·2])/(2·2)=(2±√(-12))/4=(2±√(12)·√(-1))/4=(2±2√(3)i)/4=1/2±√(3)/2i, 

idet du har, at i²=-1. Se i øvrigt, at du får to rødder. Både den komplekse rod og den kompleks konjugerte rod.

Nu burde det være let at finde x.

#1

Hvad betyder "den kompleks konjugerte rod"?

Til ethvert komplekst tal hører et komplekst konjugeret tal.

Lad os se på det generelle komplekse tal

z=x+yi,

der har den kompleks konjugerede (stregen sættes normalt over z)

z=x-yi.

Har du ikke set dette indtegnet i et koordinatsystem? 

Omvendt har du, at hvis du har et komplekst tal

z=x-yi, 

da vil den komplekst konjugerede være

z=x+yi

Sørgeligt, hvis Caspar Wessels store arbejde skal gå i glemmebogen.

Hver gang du finder en kompleks rod i et polynomium vil den have en tilhørende kompleks rod, så du vil altid få et lige antal komplekse rødder.

#3

Som også nævnt i mit indlæg, så har vi indtil videre kun haft om denne teori én gang. Vi har lært at afbilde komplekse tal i et koordinatsystem (med imaginær akse og reel akse), hvis det er dét du spørger efter. :-)

Jeps, det er det diagram. Hvis du vælger et punkt (x,y) i 1. kvadrant og trækker en vektor fra origo og ud i punktet, har du, at vektoren beskriver et komplekst tal z=x+yi. Det bør du kunne se, hvis du har lært at tegne det. Prøv så at spejlvende din tegning i 1. aksen. Den vektor, du så får, beskriver den komplekst konjugerede.

#5

Ah, jeg prøver lige igen. :-)

#5

Hvad laver du her?:

(2±√(12)·√(-1))/4 = (2±2√(3)i)/4

...udnytter, at √(12)=√(4*3)=√(4)√(3)=2√(3) og at √(-1)=i, idet dette følger af definitionen i²=-1. Sidstnævnte sammenhæng markerede jeg med fed skrift, da det jo er selve det imaginære (komplekse).

#8

Ja, det kan jeg se. Super.

Jeg får efterfølgende: (2 ± 2√(3)·i)/4 = 1/2 ± 1/2·√(3)·i

Det passer vidst ikke helt med, hvad du har skrevet?

Jo, det er to helt ækvivalente resultater. 

#10
Synes bare, at du har placeret "i" i nævneren og ikke i tælleren. Pyt med det. :-)

Jeg er altså kommet frem til et udtryk (komplekst tal), der er angivet i sumformen z = a₁ ± a₂ · i

Hvad er det helt præcist, man laver herefter? Jeg er blevet lidt usikker.

#10

Jeg har den nu!

Tak for hjælpen. :-)

Hvis du kan regnearternes hieraki, ville du vide, at der skulle være en parentes omkring nævneren, hvis i'et skulle tilhøre denne. ;)

Det er jo i princippet to forskellige y-værdier du har fået. En med en positiv imaginærdel og en med en negativt imaginærdel. Jeg ville foreslå dig at indsætte dem begge to i x=y-1 og så udregne x. :-)

#12 Glimrende!

#13

Kan du klare et spørgsmål mere? :-)

Du kan jo prøve..

#15

Det er stadig et spørgsmål inden for samme kategori.

To komplekse tal er givet ved:

Z₁ = √(29) · cis (arctan(0,4)) + s · (3 -2i)

Z₂ = (-6 +4i) + t · √(10) · cis(arctan(1/3))

Disse fremstiller to rette linier i det komplekse talplan med henholdsvis s og t som parametre.

a) Skitsér linierne i det komplekse talplan.

Vi har lært at afbilde komplekse tal når de er angivet ved: a₁ + a₂ · i, men ikke når de er så komplicerede som de nævnte.

Den må jeg også være dig svaret skyldig på.

#17

Den kan ikke være så svær, eller? :-)

Nok ikke. Jeg har kun lært at regne med cosinus og sinus i forbindelse med komplekse tal. Det må være muligt at forbinde dette til arctan, men det kan jeg ikke lige overskue så sent efter en hård dag. Sorry. :-)

#19

Hmm.. Kan denne regel hjælpe?

r · (cos((φ) + i · sin(φ)) = r · cis (φ)