Differentialligninger

Lad os kalde den hastighed, hvormed det sner, for S. Sneens højde til tiden t er da

h(t) = h₀ + S·t

idet vi regner tiden t i timer med t=0 til kl 12, hvor sneens højde er h₀.

Det volumen V, som sneploven kan rydde pr tidsenhed, er konstant, og det er lig med snehøjden h(t) ganget med sneplovens hastighed v(t), altså

V = h(t)·v(t) ,

og v(t) er også den afledede af sneplovens vejposition s(t), så

V = h(t)·s'(t) .

Dermed har vi

s'(t) = V/h(t) = V/(h₀ + S·t) ,

og dermed

s(t) = s₀ + ∫ V/(h₀ + S·t) dt = s₀ + (V/S)·ln(h₀ + S·t)

Oplysningerne giver

s(2) - s(1) = (s(1) - s(0))/2 , dvs

(V/S)·(ln(h₀+2S) - ln(h₀+S)) = (1/2)·(V/S)·(ln(h₀+S) - ln(h₀)) . heraf ses

ln( (h₀+2S)/(h₀+S) ) = (1/2)·ln( (h₀+S)/h₀ )

Vi skal tænke på, at vi skal finde det tidspunkt t₀, hvor det begyndte at sne, dvs hvor h(t₀) = 0, altså

0 = h₀ + S·t₀ , dvs t₀ = -h₀/S .

Af den forrige ligning ses derfor, at

ln( (2-t₀)/(1-t₀) ) = (1/2)·ln( -(1-t₀)/t₀ ) , eller

(2-t₀)²·t₀ = -(1-t₀)³ , eller

t₀³ -4t₀² +4t₀ = t₀³ -3t₀² +3t₀ -1 , eller

t₀² -t₀ -1 = 0 ,

der er en 2.-gradsligning med rødderne t₀ = (1 ±√5)/2

Den søgte rod er den negative rod t₀ = (1-√5)/2 = -0.618033989 , dvs det startede med at sne kl 11.23 .

#1

Du integrerer mht. variablen t i 12.linie, men hvorfor får du s₀ (konstant) ud af det? Hvorfor er det lige præcis s₀ du har kaldt konstanten? Derudover er jeg også interesseret i at vide, hvordan du integrerer brøken (samme linie). Er den kompliceret?

#1

Et tillægsspørgsmål:

Hvordan kan sneens højde ganget med sneplovens hastighed give volumet pr. tids enhed? Giver det ikke areal pr. tidsenhed?

#2

Jeg kalder blot integrationskonstanten s₀ . Men den indgår ikke i ligningen for t₀ .

#3

Jo, man skal også gange med bredden af sneploven for at få et korrekt volumen; men den bredde er jo uden betydning for opgavens løsning.

#4

Kunne jeg kalde integrationskonstanten noget helt tredje? F.eks. C?

Forstår ikke den med volumenet. Er det ikke meningen, at V skal have enheden "noget opløftet i tredje. pr. tidsenhed"?

#5

Ja, det er da ligegyldigt, hvad man kalder den.

Du kan betragte V som voluminet divideret med bredden af sneploven. Det forkortes ud af den endelige ligning.

#6

Ligesom: V/b = h(t) · v(t)? Eller?

"Det forkortes ud af den endelige ligning"

Hvor? Er ikke så skrap til det her.

#7

Matematikken bliver jo den samme, hvad enten vi kalder det V eller V/b i ligningen

(V/S)·(ln(h₀+2S) - ln(h₀+S)) = (1/2)·(V/S)·(ln(h₀+S) - ln(h₀)) ,

der fører til ligningen for t₀ .

#8

Så jeg kan godt skrive:

V/b = h(t)·v(t) = h(t)·s'(t)

(V/b)/h(t) = s'(t)

(V/b)/(h₀ + S·t) = s'(t)

∫((V/b)/(h0 + S·t))dt + C = s(t)?

#9

Ja, det kan du da. Det er jo i det væsentlige det, jeg har skrevet i #1.

#10

Godt. Hvordan har du egentlig integreret brøken? Har du slået op efter et lignende udtryk i en formelsamling?

#11

Nej.   ∫ 1/(a+bx) dx = ∫ 1/(b·((a/b) +x) dx = (1/b)·∫ 1/((a/b) + x) d((a/b)+x) = (1/b)·ln((a/b) +x) + k =

                                 (1/b)·ln((a+bx)/b) + k = (1/b)·ln(a+bx) -(1/b)·ln(b) + k = (1/b)·ln(a+bx) + k'

#12

Et par opklarede spørgsmål:

1) Hvorfor tager du 1/b ud foran integraltegnet (mellem 2. og 3. trin), og ikke nogen af de andre bogstaver?

2) Et dumt spørgsmål, men hvordan integreres  ∫ 1/((a/b) + x) dx?

3) Hvad laver du mellem 5. og 6. trin?

#13

Fordi b er koefficienten til x .

2) Her substitueres t = (a/b)+x , så integralet bliver ∫ (1/t) dt = ln(t) + k

3) Her bruger jeg en regneregel for logaritmer, ln(p/q) = ln(p) - ln(q)

#14

Pu ha. Alle de regneregler. Ja, kan godt se det, når du nævner dem, men den første har jeg ikke hørt før. Den med, når b er koefficient til x, så må man tage den foran integraltegnet. Har du mulighed for at skære det lidt mere ud i pap for mig? :)

Er det fordi, at du udnytter: ax + b, hvor a (i vores tilfælde bogstav b) er et tal = en konstant?

#15

Jeg sætter jo bare en konstant faktor uden for integralet. ∫ c·f(x) dx = c·∫ f(x) dx .

Ja, x er den variable, så de øvrige størrelser a og b er jo konstanter i den forbindelse.

#16

Med så langt.

En sidste ting, der driller mig mht. integrationen er, hvorfor tælleren i starten hedder 1.

Det oprindelige udtryk hedder da: ∫((V/b)/(h0 + S·t))dt.

Når dette udtryk skal integreres, hvorfor kan vi tillade os at erstatte tælleren med 1?

#17

(V/b) er jo en konstant, der kan sættes uden for integralet.

#18

Dvs.

(V/b) · ∫(1/(h₀ + S·t))dt.

Du viste tidligere, at: ∫(1/(h₀ + S·t))dt gav (1/S)·ln(h₀+S·t) + k

Så får vi altså: (V/b) · ∫(1/(h₀ + S·t))dt = (V/(b·S))·ln(h₀+S·t) + k

Er jeg gal på den?

#18

Det ser ud til at være rigtigt det jeg har lavet (kan først nu se, at V/(bS) går ud med hinanden).

Er nu nået til det punkt, hvor du har skrevet:

ln( (2-t₀)/(1-t0) ) = (1/2)·ln( -(1-t₀)/t₀

Hvordan er det du kommer frem til det?