Side 2 - Differentialligninger

#18

Det fremkommer jo af ligningen

(V/S)·(ln(h₀+2S) - ln(h₀+S)) = (1/2)·(V/S)·(ln(h₀+S) - ln(h₀))

ved at observere, at t₀ = -h₀/S

(V/S) forkortes bort, og så benyttes igen en regneregel for logaritmer.

#21

Ja ja, den er jeg med på, men jeg var lidt i tvivl om, hvordan du fik indmaden dvs "(2-t₀)/(1-t₀)....".

Jeg har prøvet at sætte 0 = h₀ + S·t₀ <--> h₀ = -S · t₀ i den ligning du nævner i #21, men kan egentlig ikke komme frem til det.

#22

Vi har

(V/S)·(ln(h₀+2S) - ln(h₀+S)) = (1/2)·(V/S)·(ln(h₀+S) - ln(h₀)) , dvs

(ln(h₀+2S) - ln(h₀+S)) = (1/2)·(ln(h₀+S) - ln(h₀)) , eller

2·ln( (h₀+2S)/(h₀+S) ) = ln( (h₀+S)/h₀ ) , eller

2·ln( (h₀/S + 2)/(h₀/S + 1) ) = ln( (h₀/S + 1)/(h₀/S) ) , eller

2·ln( (2 -t₀)/(1 -t₀) ) = ln( (1 -t₀)/(-t₀) ) , hvoraf fås

(2 -t₀)²/(1 -t₀)² = -(1 -t₀)/t₀ , eller

(2 -t₀)²·t₀ = -(1-t₀)³

#23

Hvad gør du mellem 3. og 4. trin?

#24

Jeg forkorter brøkerne med S .

#25

Til sidst bruger du den negative rod, men hvorfor, og ikke den anden?

#26

Det er korrekt, for vi skal jo finde et tidspunkt før kl 12 , hvor vi havde sat t = 0 .

Den anden rod er positiv. Det betyder, at det også kunne starte med at sne efter kl. 12 (t = 0)?

#27

Den positive værdi giver måske ikke mening, fordi sneploven allerede til tiden nul (dvs. kl. 12) begynder med at rydde sne. Derfor må den negative være den korrekte løsning - kan det ikke passe?

#29

Opgaven siger jo tydeligt, at det begynder at sne om formiddagen. Det er før kl. 12, altså til et t < 0.

#30

Den sætning missede jeg vidst. Mange tak for hjælpen. :)

Har et andet opklarende spørgsmål. Det har ikke noget med denne opgave at gøre. En funktion er givet ved:

y = ³√((-b · r² · 3,99 · t + C)²)

Randbetingelse: t = 0 --> y = 4.

Denne giver C = ± 8. Kan det ikke passe, at værdien -8 (den negative) ikke er en del af løsningen?

#31

Randbetingelsen giver y(0) = C^2/3 = 4 ⇒ C = ±8 .