diffusion

Undersøg, om den givne funktion er en løsning til diffusionsligningen.

ja, men hvordan gør man?

er det vha helt almindelig diff, lineær eller separabel?

#2

Man har

C(x,t) = k/(√D·t)·e^{-x^2/(4D·t)}

og beregner så de partielle afledede ∂C/∂t og ∂²C/∂x² og efterviser, at diffusionsligningen er opfyldt.

det har jeg også prøvet...

Jeg har prøvet alle regler indenfor differentiering, men intet giver mig det rigtige svar. har prøvet både ved håndkraft og vha lommeregner.

#4

Når man beregner den partielle afledede ∂C/∂t differentierer man funktionen som en normal funktion af t og betragter alt andet konstant, og det analoge gør sig gældende ved beregning af ∂²C/∂x² . Vi har

∂C/∂t = -k/(√D·t²)·e^{-x^2/(4D·t)} + k/(√D·t)·e^{-x^2/(4D·t)}·x²/(4Dt²) , og

∂C/∂x = k/(√D·t)·e^{-x^2/(4D·t)}·(-2x/(4Dt)) , og dermed

∂²C/∂x² = -2k/(√D·t)/(4Dt)·e^{-x^2/(4D·t)} + k/(√D·t)·e^{-x^2/(4D·t)}·(2x/(4Dt))²

Der er muligvis smuttet en faktor 2 et par steder.

Hvis funktionen derimod er

C(x,t) = k/(√(D·t))·e^{-x^2/(4D·t)} ,

går det hele op, ider vi har

∂C/∂t = -(1/2)k/(√D · t^3/2)·e^{-x^2/(4D·t)} + k/(√D · t^1/2)·e-^{x^2/(4D·t)}·x²/(4Dt²) , og

∂C/∂x = k/(√D · t^1/2)·e^{-x^2/(4D·t)}·(-2x/(4Dt)) , og dermed

∂²C/∂x² = -2k/(√D · t^1/2)/(4Dt)·e^{-x^2/(4D·t)} + k/(√D · t^1/2)·e^{-x^2/(4D·t)}·(2x/(4Dt))² ,

og man ser, at

D·∂²C/∂x² = ∂C/∂t

jeg prøver lige selv og ser om jeg kan finde ud af det

TAK for hjælpen :)

jeg kan ikke helt se hvad du har gjrort.

jeg prøvede selv, og jeg får næsten det samme, men jeg kan ikke rigtig se hvordan det jeg får kan vise, at det er løsningen til diffusionsligningen????

#8

Jeg kan jo ikke se, hvad du får. Men i #6 har jeg vist, at hvis funktionen er

C(x,t) = k/(√(D·t))·e^{-x^2/(4D·t)}

hvor kvadratroden i nævneren udstrækkes over både D og t , ser man ved udregning, at

∂C/∂t = D·∂²C/∂x² ,

dvs. at denne funktion er en løsning til diffusionsligningen.

hvad for nogle regneregler bruger du til at løse opgaven?

#10

Der benyttes blot ganske almindelig differentiation. Når man beregner ∂C/∂t , betragtes C(x,t) som en funktion alene, og når man beregner ∂C/∂x og ∂²C/∂x² , betragtes C(x,t) som en funktion af x alene.

Hej,, jeg sidder også og har lidt problemer med den samme opgave..

Jeg kan ikke rigtig se hvordan du kommer frem til dette udtryk: 

∂2C/∂x2 = -2k/(√D · t1/2)/(4Dt)·e-x^2/(4D·t) + k/(√D · t1/2)·e-x^2/(4D·t)·(2x/(4Dt))2

Og en anden ting, hvordan kan du se at:

D·∂2C/∂x2 = ∂C/∂t

D * -2k/(√D · t1/2)/(4Dt)·e-x^2/(4D·t) + k/(√D · t1/2)·e-x^2/(4D·t)·(2x/(4Dt))2 = -(1/2)k/(√D · t3/2)·e-x^2/(4D·t) + k/(√D · t1/2)·e-x^2/(4D·t)·x2/(4Dt2)

Håber på lidt hjælp

tak på forhånd

#12

Det kommer man frem til ved at differentiere 2 gange med hensyn til x . Se #6 for de detaljerede udregninger.

Ved at sammenligne udtrykkene for ∂C/∂t og ∂²C/∂x² , ser man, at det ene udtryk netop er D ganget med det andet udtryk.

ja jeg forstår godt at du har differentieret 2 gange med hensyn til x.. kan bare ikke se hvilke regneregl du har anvendt for at diffe dette udtryk:

 ∂C/∂x = k/(√D · t1/2)·e-x^2/(4D·t)·(-2x/(4Dt))

#12

Funktionen er (se #6)

C(x,t) = k/(√(D·t))·e^{-x^2/(4D·t)} .

Som funktion af t har den formen

C₁(t) = a·t^-1/2 · e^-b/t ,

så man får

∂C/∂t = dC₁(t)/dt = (-1/2)·a·t^-3/2 ·e^-b/t + a·t^-1/2 · e^-b/t · (b/t²) .

Som funktion af x har funktionen C(x,t) formen

C₂(x) = p·e^{-qx^2} ,

så vi får

∂C/∂x = dC₂(x)/dx = p·e^{-qx^2} · (-2qx) , og dermed

∂²C/∂x² = d²C₂(x)/dx² = -2q·p·e^{-qx^2} + p·e^{-qx^2} · (-2qx)²

                                        = -2·p·q·e^{-qx^2} + 4·p·q²·x²·e^{-qx^2} .

Vi bemærker her, at

a = k/√D , b = x²/(4D) , p = k/(√(D·t)) = a·t^-1/2 , q = 1/(4Dt) , så

e^{-qx^2} = e^-b/t .

Dermed ses

D·∂²C/∂x² = 2·p·q·D·(2·q·x² -1)·e^{-qx^2}

                    = 2k/(√(D·t))/(4t) · (2x²/(4Dt) - 1)·e^{-qx^2} , og

∂C/∂t = a·t^-1/2·(b/t² -1/(2t))·e^-b/t

          = k/(√(D·t))/(2t) · (2x²/(4Dt) - 1)·e^-b/t ,

og det ses, at de to udtryk er identiske.

#14

Der anvendes reglen for differentiation af en sammensat funktion, se #15.

Tak for hjælpen :)