Matematik
Optimering og differentialregning
Hej allesammen
jeg har lidt en krise med en matematik aflevering til i overmorgen. Den lyder:
Tre byer A, B og C skal forsynes med vand fra en ny pumpestation, P, gennem tre rørledninger. Det er givet at |PA|=|PB|, og at punktet P ligger på højden fra C.
Bestem |PC| så den samlede rørlængde |PA|+|PB|+|PC| er mindst mulig.Bestem også der den samlede længde af rørledningerne.
Der er også et billede af en ligebenet trekant, der illustrerer dette, som jeg har vedhæftet.
Indtil videre har jeg delt trekanten i to med højden, og forsøgt at regne den ukendte side CH ud med pythagoras sætning, men jeg er helt i tvivl om, det er det rigtige at gøre, og hvor jeg skal gå videre herfra.
Jeg håber virkelig, at der er nogen, der kan hjælpe mig med det!
Hilsen Leonora :)
Svar #1
17. februar 2012 af peter lind
Det er det rigtige du har gjort. |PH| = |CH|-x hvor x er længden af det søgte stykke. Brug dernæst pytagoras igen til at finde |PA| og |PB| udtrykt ved x. Adder derefter rørlængderne og du har den samlede længde som funktion af x
Svar #2
18. februar 2012 af Krabasken (Slettet)
PC = x.............AP = BP = √(16+(3-x)2)
Samlet ledningslængde = f(x) = x + 2√(x2-6x+25)
f '(x) = 1 + 2*(2x-6) / 2*√(x2-6x+25) sættes = 0
x=0,6906
f(x) aftagende min. voksende
x...................0,6906.................
;-)
Vedhæftet fil . . .
Svar #3
18. februar 2012 af Andersen11 (Slettet)
Til #2
Den brugbare rod i ligningen f'(x) = 0 er x = 3 - (4/3)√3 , og den mindste samlede rørlængde er
f( 3 - (4/3)√3 ) = 3 + 4·√3 ≈ 9,928 km
Tegningen for trekanten i det vedhæftede i #2 svarer dog ikke til den optimale løsning, idet |PC| = x , og x er således ikke 2.-koordinaten for punktet P.
Svar #4
18. februar 2012 af Krabasken (Slettet)
Yes - det er samme resultat, som jeg er kommet til
3 - (4/3)√3 = 0,6906
Og den samlede ledningslængde står ovenover:
"Samlet ledningslængde = f(x) = x + 2√(x2-6x+25)"
og hvis man indsætter mit fundne x = 0,6906 fås 9,928 km
- men tak alligevel . . . ;-)
Svar #5
18. februar 2012 af Krabasken (Slettet)
UPS - nej tegningen skulle have punktet P = (4,((3-0,6906) det er ganske vist
- så dér har du ret - den er smuttet
TAK ;-)
Svar #6
18. februar 2012 af Krabasken (Slettet)
Ny vedhæftet følger ., . .
Svar #7
18. februar 2012 af Andersen11 (Slettet)
#4
Jeg bestred heller ikke dine numeriske værdier; jeg tænkte, det kunne være rart også at have de eksakte værdier.
Svar #8
18. februar 2012 af Krabasken (Slettet)
Her kommer den korrekte
- endelig . . .
;-)
Svar #9
18. februar 2012 af Krabasken (Slettet)
# 7
- Klart, klart-
men rørlæggere er knap så begejstrede for kvadratrødder, som vi andre . . .
;-)
Svar #10
18. februar 2012 af Andersen11 (Slettet)
Lidt overraskende er det måske, at man kun sparer ca 72m rør ved at anbringe pumpestationen P i den optimale placering i stedet for at anbringe den oppe i C, hvortil der skal benyttes 10,00 km rør.
Projektlederen vil helt sikkert sige, at merudgiften i rørlængde klart spares ind ved at fyre de dyre matematikere på projektet.
Svar #11
18. februar 2012 af Krabasken (Slettet)
- Nævn det ikke for projektlederen . . .
Der skulle gerne være arbejde til alle vores elever, når de en dag får deres eksamen -
Nighty-night!
;-)
Skriv et svar til: Optimering og differentialregning
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.