Matematik
Toppunktsformlen vha. symmetri
Hej
Jeg skal om nogle dage til mundtlig eksamen i matematik B (supplering), og et af mine spørgsmål omhandler udledning af toppunktsformlen for parabler ved at gøre brug af symmetrien i grafen. Der må andre ord ikke gøres brug af differentialregning i udledningen. Jeg har ikke kunnet finde materiale, der beskriver lige dét bevis, mine noter er mangelfulde, og jeg kan ikke helt forklare et hop, der sker i argumentationens trin 7.
For at tage beviset:
1. Der tegnes en graf for et andengradspolynomium, hvor toppunktet (i dette tilfælde et minimum) ligger til højre for y-aksen. Der tegnes en ret linje fra grafens skæring med y-aksen (f(0)) til et punkt P med samme y-koordinat, der kan hedde f(x0). Et toppunkt T indtegnes og der markeres, at xT = (1/2)x0.
2. Det udledes, at hvis x=0 i f(x)=ax2+bx+c , da y=c, fordi:
f(0)=a02+0b+c
f(0)=c
3. Det gælder derfor, at
f(x0)=ax02+bx0+c=c
4. Da c ikke har nogen indflydelse på symmetrien i grafen, kan c trækkes fra udtrykket:
ax02+bx0 = 0
5. Udtrykket faktoriseres:
x0(ax0+b)=0
6. Ifølge nulreglen, må et af faktorerne i en multiplikation være 0, hvis produktet er nul. Derfor gælder:
x0=0 ∨ ax0+b=0
7. Og her forsvinder logikken, for den næste udledning er, at
x0=0 ∨ -b/a
Det aner jeg ikke, hvordan jeg er kommet frem til.
---
8. Da xT ligger præcis mellem 0 og x0, må det gælde, at
xT= (1/2)(-b/a) = -b/2a
Dermed skulle formlen for at finde xT være bevist.
Svar #1
15. december 2012 af mette48 (Slettet)
x0=0 ∨ ax0+b=0 træk b fra på begge sider og del med a på begge sider
Svar #2
15. december 2012 af LasseLiten (Slettet)
AHA! Så det, jeg altså mente i trin 7, var, at definere x0 på to forskellige måder? Ja, det fremgår egentlig af notationen, men jeg har vist siddet indendørs alt for længe og har stirret mig grundigt blind efterhånden...
Tak for dit svar.
Svar #3
15. december 2012 af Andersen11 (Slettet)
Det drejer sig om at finde en x-koordinat xT , således at grafen for f(x) = ax2 + bx + c er symmetrisk omkring linien x = xT . Der skal med andre ord gælde, at
f(xT-x) = f(xT+x)
for alle x . Indsæt denne betingelse i 2.-gradspolynomiet:
a·(xT - x)2 + b·(xT - x) + c = a·(xT + x)2 + b·(xT + x) + c .
Vi samler alle led på venstre side:
a · [ (xT - x)2 - (xT + x)2 ] + b · [ (xT - x) - (xT + xT) ] = 0 , dvs
a · [ 2xT·(-2x) ] + b · (-2x) = 0 , eller
x · [ a·2xT + b ] = 0
Da det skal gælde for alle x, vil det kun være opfyldt, såfremt koefficienten til x er lig med 0, dvs
a·2xT + b = 0
Skriv et svar til: Toppunktsformlen vha. symmetri
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.