Matematik

Summer: Vis at..

14. maj 2014 af hejsa128 (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Lad

$x_{n}=\sum_{k=n}^{2n-1}\frac{1}{k}$ og $y_{n}=\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}$

a) Vis

$y_{n}=x_{n}-\frac{1}{2n}=x_{n+1}-\frac{1}{2n+1}$

for alle n.

Jeg håber, at nogen kan hjælpe :)

Svar #1
14. maj 2014 af hejsa128 (Slettet)

Hov x_n og y_n er for alle n = 1, 2, ....

Brugbart svar (1)

Svar #2
14. maj 2014 af LeonhardEuler

først viser vi denne

$y_n=x_{n+1}-\frac{1}{2n+1}$

hvilket kan skrives til

$\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}=\left (\sum_{k=n+1}^{2(n+1)-1}\frac{1}{k} \right )-\frac{1}{2n+1}=\left (\sum_{k=n+1}^{2n+1}\frac{1}{k} \right )-\frac{1}{2n+1}$

Du ser at x_n+1 skal adderes med en adden mere end y_n , som må være ¹/_2n+1. Derfor kan du skrive

$\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}=\left (\sum_{k=n+1}^{2n+1}\frac{1}{k} \right )-\frac{1}{2n+1}=\left (\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k} \right )+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+1}$

de to sidste brøkker går ud med hinanden derfor må y_n = x_n+1 - ¹/_2n+1

Brugbart svar (1)

Svar #3
14. maj 2014 af LeonhardEuler

Så denne her:

$y_n=x_{n}-\frac{1}{2n}$

vi omskriver igen

$\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}=\left ( \sum_{k=n}^{2n-1} \frac{1}{k} \right ) -\frac{1}{2n}=\left ( \sum_{k=n+1}^{2n-1} \frac{1}{k} \right )+\frac{1}{n} -\frac{1}{2n}=\left ( \sum_{k=n+1}^{2n-1} \frac{1}{k} \right )+\frac{1}{2n}=$

¹/_2n er ¹/_k til den øvre grænse af summation 2n, derfor kan man ''udvide'' dene øvre grænse fra 2n-1 til 2n ved indbringe ¹/_2n i summationen, hvorfor y_n = x_n - ¹/_2n

Svar #4
14. maj 2014 af hejsa128 (Slettet)

Tusind tak! :D

Til #2 hvordan ser du, at du skal addere x_n+1 med en adden (?) mere end y_n?

Brugbart svar (1)

Svar #5
14. maj 2014 af LeonhardEuler

Du ser netop at x_n+1har en øvre grænse er 2n + 1 hvorimod y_n har en øvre grænse på 2n og de har samme nedre grænse. Derfor har x_n+1 et led mere at addere (adden - jeg har formentligt stavet det forkert). Og det sidste led der skal adderes er selvfølgelig ¹/_2n+1 Hvis du fjerner den fra summationen, så vil den øvre grænse blive 1 mindre hos x_n+1, hvorfor den øvre grænse nu bliver 2n.

Skriv et svar til: Summer: Vis at..

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.