Fjeder kræfter og harmoniske svingninger.

Uden dæmpning:

Newtons anden lov på loddet:

m*x´´ = -k*x  <=>

x´´ + (k/m)*x = 0

Løsning af denne ligning:

(Jeg ved ikke om dette er gymnasiepensum)

Opskriv karakterligningen

R² + 0*R + (k/m) = 0

Denne har to komplekse løsninger:

R = +/- i*√(k/m)

Dette giver løsningen

x(t) = B sin(ω₀t) + C cos(ω₀t)

hvor ω₀ = √(k/m)

Denne kan også omskrives til

x(t) = A*cos(ω₀t + Φ)

Hvor A kaldes amplituden, ω₀ frekvensen og Φ fasen

Du skal addere en gnidningsmodstand F_g til din kraft fra fjederen. Kraften må nødvedigvis være modsat rettetbevægelsen. Muligheder for kraft

1. F_g er en konstant

2. F_g er proportional med hastigheden

3. F_g er proportional med kvadratet på hastigheden.

1. og 3. har den ulempe at det er et problem at få retningen ind i differentialligningen

Med forbehold af at jeg ikke kender dit fysiksystem særlig godt vil jeg anse 1. for det mest sandsynlige.

Du vil så få en differentialligning af formen

md²x/dt²= -kx -e*Fg, hvor e er1 eller -1 afhængig af om hastigheden er i den positive eller den negative retning. Hvis du bruger model 2 vil du få differentiallgningen

md²x/dt² = -kx-f*v

Den differentialligning er rimelig nem at løse. Du kan så lave regressionsanalyse på dine målte data og dermed finde de forskellige parametre

Med dæmpning:

Der kommer et luftmodstandsled på: f = -b*v

m*x´´ = -k*x -b*x´  <=>

x´´ + γ*x´ + ω₀² *x = 0

hvor γ = b/m

Karakterligningen

R² + γR + ω₀² = 0

som har løsningerne

R = -γ/2 +/- i*√(ω₀² - γ²/4) 

Dette giver løsningen

x(t) = B*e^-γ/2 *cos(ω₁*t) + C*e^-γ/2 *sin(ω₁*t)

hvor ω₁ = √(ω₀² - γ²/4) 

løsningen kan omskrives til

x(t) = A*e^-γ/2*cos(ω₁*t + Φ)

Jeg tror ikke jeg kan bruge de to svar til meget, #1 forstår jeg ikke meget af, og i 2 snakker du om en masse. Jeg har ingen masse i mit eksperiment. De eneste data jeg har at arbejde med er:

Position som funktion af tiden. 

Dertil har jeg så lavet sinusregression. 

Det skal desuden siges jeg har (tidligere i opgaven) lavet et mindre bevis at en harmonisk svingning er løsning til en simpel 2.-ordens differentialligning. Jeg vedhæfter beviset hvis det kan bruges til noget se her: http://imgur.com/R1uMp4a

I løsningen til differentialligning indgår 3 parameter nemlig masse, fjederkonstant og en parameter for gnidningen. Hvis du laver ulineær regression på de fundne data kan den fortælle dig hvad parameterne er.

Hvis der er noget du ikke forstår må du vende tilbage med bedre oplysning om hvor det går galt eller mere præcist hvad du ikke forstår. En meddelelse hvor du blot siger at du ikke forstår det kan vi ikke rigtig bruge til noget

#5

I løsningen til differentialligning indgår 3 parameter nemlig masse, fjederkonstant og en parameter for gnidningen. Hvis du laver ulineær regression på de fundne data kan den fortælle dig hvad parameterne er.

Hvis der er noget du ikke forstår må du vende tilbage med bedre oplysning om hvor det går galt eller mere præcist hvad du ikke forstår. En meddelelse hvor du blot siger at du ikke forstår det kan vi ikke rigtig bruge til noget

Jeg forstår ikke hvordan jeg kan arbejde med massen, når jeg ikke har den som en del af mit forsøg, og gnidning ved jeg ikke om er et del af vores pensum? Vi har ikke arbejdet med det, men det kan jo læses op på. Og fjederkonstanten kender jeg ikke, men det finder jeg så? Kommunikation på forums kan godt blive misforstået let når man ikke helt forstår tingene, måske skal jeg bare have en lidt mere børnevenlig forklaring. Du skriver også at jeg skal addere en gnidningskraft til den kraft jeg har fra fjederen, men hvordan kender jeg kraften fra fjederen nåpr jeg hverken kender masse eller k? 

Jeg vil komme med et meget simpelt eksempel, som du forhåbentlig forstår.

Du er af en eller anden vej kommet frem til at x(t) = a*t+b. a og b er parametre du ikke kender på samme måde som du i din opgave ikke kender masse eller fjederkonstant. Du foretager en række målinger og finder heraf x(0), x(0,5), x(1), x(2)---x(t_n)  Hvis du bruger lineær regression på dine målte data vil du få angivet en værdi af a og b. På samme måde vil en ulineær regression på dine målte data give dig værdier for parametrene
 

Ja jeg forstår, tror jeg? Jeg har jo fået værdier for hhv. Amplitude, vinkelhastighed, begyndelsesfase, og ligevægtsværdig? 

Men derfor har jeg stadigt hverken masse, fjederkonstant, eller gnidningskraft? som der bliver omtalt 

Du kan aflæse din værdi af kvrod(k/m) af den fundne formel

#9

Du kan aflæse din værdi af kvrod(k/m) af den fundne formel

Ja det er jeg godt klar over, i mit tilfælde 9,4... men hvad godt gør det for mig? Jeg kender stadigt ikke de to konstanter der indgår? 

Nej det gør du ikke. Hvis du havde målt dem inden eller efter forsøget kunne du have sagt om det stemte med teorien. Som det er, må du se i øjnene. at du kun kan sige, at du har fået den rigtig type funktion nemlig en sinusfunktion

Ja, og det var også hvad jeg kan komme frem til, men det forstår jeg IKKE, når det er mine 2 lærer der har sat forsøget op, og udarbejdet for os, hvordan det skulle foregå, og hvad vi skulle måle? 

Kunne det være en idé at køre den igennem med den teori jeg kunne have brugt hvis jeg havde haft mere data? 

Jeg kan jo ikke så godt fortælle hvad der har fået dine lærere til at opstille forsøget som de gjorde. En mulighed er at det vil tage for lang tid, hvis målingen af k og m også skulle med

Nej det ved jeg selvfølgelig godt :) ... men det er ellers utroligt når der var afsat 4 timer til det! :O