Matematik
Integralregning.
Hej SP. Jeg kan desværre ikke regne delopgave c) ud - håber nogen kan hjælpe mig med dette, da jeg ikke har stødt på sådan en opgave før:
En funktion f er givet ved
f(x)=x2+16/x2, x > 0
a) Bestem arealet af M. Resultat = 18.
b) Bestem rumfanget af det omdrejningslegeme der fremkommer, når M drejes 360º om førsteaksen. Resultat = 1515,5.
En linje med ligningen x=k, hvor k er et tal, deler M i to punktmængder der har lige store arealer.
c) Bestem tallet k.
På forhånd tak!
Svar #1
05. august 2014 af Andersen11 (Slettet)
Start med at specificere, hvorledes punktmængden M er defineret. I opgave c) skal man typisk løse en ligning af formen
a∫k f(x) dx = k∫b f(x) dx
som en ligning i k .
Ligningen kan også formuleres
a∫k f(x) dx = (1/2) · a∫b f(x) dx = (1/2) · A(M) .
Svar #2
05. august 2014 af Andersen11 (Slettet)
Det ser ud til at være den samme opgave, som den der er diskuteret i denne tråd
https://www.studieportalen.dk/forums/Thread.aspx?id=889896
Punktmængden begrænses af grafen for f samt linien med ligningen y = 17. Grænserne for integralerne er derfor x = 1 og x = 4 .
I c) skal man da løse ligningen
1∫k (x2 + 16/x2) dx = 9
Svar #4
05. august 2014 af Andersen11 (Slettet)
Korrektion til #2
I c) skal man løse ligningen
1∫k (17 - f(x)) dx = 9 ,
dvs.
1∫k (17 - x2 - 16/x2) dx = 9
![\left [ 17x-\frac{1}{3}x^{3} +\frac{16}{x}\right ]_{1}^{k}=9](https://media.studieportalen.dk/images/equations/0qInvZqP5ZeeJfWqdgv5YQ==.gif)
Svar #6
05. august 2014 af Andersen11 (Slettet)
#5
Se korrektionen i #4, da
A(M) = 1∫4 (17 - f(x)) dx = 1∫4 (17 - x2 - 16/x2) dx
= [ 17x - x3/3 + 16/x ]41
= 17·4 - 43/3 + 16/4 - 17 + 1/3 - 16
= 51 -12 -21 = 18 .
Ligningen, der skal løses i c) , bliver så
[ 17x - x3/3 + 16/x ]k1 = 9 ,
dvs.
17k - k3/3 + 16/k -17 + 1/3 -16 = 9 ,
eller
k4 - 51k2 + 125k -48 = 0 ,
der i intervallet [1;4] har den ene rod
k ≈ 2,26168 .
Skriv et svar til: Integralregning.
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.