Kontinuitet

s(0) = 0. Vis at du til et vilkårlig valgt ε>0 kan finde et δ>0 så |x|<δ =>  |s(x)| < ε. En hjælp kan være at f(x) = 0 og g(x) = 2x begge er kontinuerte i 0

Vælg et punkt x≠0 og vis at ligegyldig hvor lille ε du vælger. vil der altid være x værdier, der giver større afvigelser en ε. Del op efter om x er rational eller irrational

Benyt definitionen for kontinuitet i et punkt x₀ .

Der gælder, at s(0) = 0 , og at |s(x) ≤ 2|x| for alle x .

For x0 = 0 , har vi

        |s(x) - s(0)| = |s(x) - 0| = |s(x) ≤ 2|x| .

For ethvert ε > 0 kan vi da vælge δ = ε/2 , hvilket viser kontinuitet i 0.

Tak for jeres hurtige svar.

Peter Lind, du skriver "[...] vil der altid være x værdier, der giver større afvigelser en ε."

Mener du, at der altid vil være x værdier, hvis funktionsværdi vil give større afvigelser end ε ?

Definitionen for, at funktionen s(x) er kontinuert i x₀ er

        ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ ω_δ(x₀) :  |s(x) - s(x₀)| < ε

hvor ω_δ(x₀) er intervallet ]x₀-δ ; x₀+δ[ .

Definitionen for, at s(x) ikke er kontinuert i x₀ er da

        ∃ ε > 0 ∀ δ > 0 ∃ x ∈ ω_δ(x₀) : |s(x) - s(x₀)| ≥ ε