Svære opgaver

#0

Mit første spørgsmål: Hvordan kan vise at en følge er konvergent med grænseværdien x=0??

Benyt definitionen for konvergens af følger:

En følge {a_n}^∞_n=0 er konvergent når der findes et tal a ∈ C (de komplekse tal inkl. de reelle tal) som opfylder, at der for ethvert ε > 0 findes et naturligt tal N ∈ N (de naturlige tal) således at 

                                     la_n - al ≤ ε

når n ≥ N

skrevet med kvantorer   :         

Mange tak for dit svar. 

Ja,undskyld mit spørgsmål ikke var præcis nok. 
Definitionen har jeg styr på. Spørgsmålet er, hvordan jeg netop anvender det til at løse opgaver med. 
- Er der nogle trin jeg kan følge, hvis jeg eksempelvis får givet en funktion, og derefter skal vise at den er konvergent med grænseværiden x= 0

er det så her jeg skal lave nogle antagelser.. eks. ^{ε> 0} 

Et eksempel med følgen a_n = ¹/_n   , der konvergerer mod/har grænseværdien 0 

Du benytter bare definitionen for konvergens af følger, derfor skal du vise at for ethvert positivt ε at der eksisterer et naturligt tal N så

                               la_n - 0l =   l¹/_n - 0l = ¹/_n   ≤  ε                  for ∀n ≥ N

kravet er at der eksisterer et N så ¹/_n ≤ ε når n ≥ N  - du ser straks at   ¹/_n ≤ ε ⇔ n ≥ ¹/_ε

altså hvis N er et naturligt tal større end ¹/_ε , så er  la_n - 0l ≤  ε  opfyldt for alle n ≥ N

 Ah, det er nummerisktegn! 
Er det altid grænseværdien som fratrækkes? Hvis det havde været  x =3, så havde det erstattet  0?

#4 : Der bliver trukket 0 fra a_n  i #3

Hvordan kommer 1/ε ind i billedet??Hmm

#6 : Se biimplikationstegnet

Kan slet ikke forstå, hvordan det kommer ind i billedet :(

#8 : Hvad forstår du ikke ved dette? 

 ¹/_n ≤ ε ⇔  ¹/_ε ≤ n  ⇔ n ≥ ¹/_ε

Mere eller mindre det hele. 
men 1000 tak for du prøver! sætter jeg gevaldigt pris på.

Hvorfor sætter du ε i en brøk?, og hvordan er 1/ε pludselig større end 1/ε

#10   :  Jeg isolerer n   i  ¹/_n ≤ ε  

 ¹/_n ≤ ε              der multipliceres med n på begge sider af ulighedstegnet

⇔ 1 ≤ ε•n          der divideres med ε på begge sider af ulighedstegnet

 ⇔ ¹/_ε ≤ n          

Jeg søgt lidt på nettet og fundet et par videoer forklarer meget godt omkring konvergens og grænseværdier for følger.

KhanaCademy     - En kendt og meget flot hjemmeside. I den henviste video bliver emnerne såsom definition af konvergens af følger m.m. omtalt  + der bliver talt engelsk.

Kommgruppa MN UiO    - En norsk eller svensk talende kvinde, der forklarer emnerne såsom definition af konvergens af følger m.m.  Hun taler meget tydeligt, derfor bør der ikke være nogen problemer med at forstå hende.

Jeg prøver at kigge på det! 1000 mange tak!

#0

1) Hvordan skal 3_xt - 5_xt forstås ?

4) Det fremkommer formodentlig i forbindelse med at vise, at en talfølge er voksende?

#2 : Ja.    ε er et positivt lille tal, som du selv kan udvælge

#4 : Ja. Det er numeriske tegn, hvorfor man omtaler det  som distancen mellem a_n og a, hvor a, som du selv nævner, er grænseværdien for følgen når n → ∞      skrevet  lim_(n→∞)  a_n = a 

4)

For at vise, at talfølgen    x_n = (n-1)² / (n² - 1) er voksende, kan man beregne

hvoraf man ser, at     x_n+1 - x_n > 0 for n > 1 .

Man kan også se på funktionen

        f(x) = (x-1)² / (x²+1) = (x-1)² / ((x-1)² + 2x) ,

hvoraf

        1 / f(x) = 1 + 2x / (x-1)² , så

        (-1/(f(x))²) · f '(x) = (2·(x-1)² - 2x·2(x-1)) / (x-1)² = (2x - 2 - 4x) / (x-1) = -2(x+1)/(x-1)

hvorfor

        f '(x) = (x+1)(x-1) / ((x-1)² + 2x) = (x² - 1) / (x² + 1)

og man ser, at f '(x) > 0 for x > 1 . Funktionen f(x) er derfor strengt voksende for x > 1.

3) Der er givet de to rækker   ∑^∞_n=1 a_n  og  ∑^∞_n=1 b_n  der er konvergente med sum c, hhv. d . Så følger det umiddelbart, at rækken    ∑^∞_n=1 (a_n + b_n)  er konvergent med sum c+d . Det følger af, at afsnitsfølgerne for de to rækker er konvergente og af at sumfølgen af to konvergente talfølger er konvergent med en grænseværdi, der er lig med summen af de to talfølgers grænseværdier.

14# det er en differensfølge, så jeg ved ikk eom jeg bare skal trække 3xt fra 5 xt? :)

# 15 

Men i min bog står det bare defineret: :   

Hvor længden af an-a er MINDRE end e, og n er MINDRE end N.. Ikke mindre eller ligmed.

Er det denne generelle regel man skal bruge for at finde græseværdien for alle talfølger? :)

#18

Hvordan er det skrevet?   Menes der 3x_t - 5x_t som jo er lig med -2x_t , eller hvordan er det skrevet? Skriv det præcist op. Benyt redigeringsfaciliteterne til at angive indeks og eksponent.