Konvergens

Du kan bruge kendte regneregler for konvergens. Du kan også bruge definitionen på konvergens; men her skal du vide hvad grænseværdien er. Du  har ret i at grænseværdien er 1 for n ->∞

Talfølgen   x_n = 1 + (1/n²)  er monotont aftagende , idet

        x_n+1 - x_n = (1/(n+1)²) - (1/n²) = (n² - (n+1)²) / (n²·(n+1)²) = -(2n+1) / (n²·(n+1)²) < 0

og talfølgen er nedad begrænset, idet x_n > 1 for alle n. Deraf følger, at talfølgen er konvergent.

Hvis vi har talfølgen:

 for n ulige

så siger jeg:

Er det helt galt?

#3

Hvis x_n kun er defineret for n ulige, er det vel en anelse mere kompliceret.

For denne talfølge gælder et vist ikke, at den er monotont aftagende. Derimod har man her

        x_n = 1 + sin(n)/n³ ≤ 1 + |sin(n)| / n³ ≤ 1 + 1/n³

og

        x_n = 1 + sin(n)/n³ ≥ 1 - |sin(n)| / n³ ≥ 1 - 1/n³ .

Vi har altså

        1 - 1/n³ ≤ x_n ≤ 1 + 1/n³

så følgen x_n er klemt inde mellem de to konvergente følger 1 - 1/n³    og 1 + 1/n³ , der begge konvergerer mod 1.

Xn er defineret for både lige og ulige, der er givet en gaffelforskrift:

 for n ulige og  for n lige - men det ændrer vel ikke på det du siger? Nu har jeg i hvert fald præciseret mig, hvordan skal jeg tænke - synes den er tricky.

#5

De to talfølger    x_n = 1 + sin(n)/n³   og   y_n = √(1 - 1/n²)    er hver for sig konvergente med samme grænseværdi 1 . Talfølgen z_n defineret ved

        z_n = x_(n+1)/2  hvis n ulige, og  
        z_n = y_n/2 , hvis n lige

er derfor også konvergent med grænseværdien 1.