Matematik
Taylorpolynomier;
Hej til alle derude.
Jeg har en opgave med Taylorpolynomie, som er ikke klar til mig.
Opgaven:
Til oplysning: Funktionen arcsin: [−1, 1] → [−π/2, π/2] er defineret
som den omvendte funktion til sin: [−π/2, π/2] → [−1, 1] og opfylder
altså, at sin(arcsin(x)) = x for alle x ∈ [−1, 1]. Endvidere, arcsin er
differentiabel på (−1, 1) med differentialkvotient (arcsin(x))' = 1/(√1-x2)
1) Beregn dette taylorpolynomiums værdi b = T3f(1/2) i x= 1/2.
Forklar med udgangspunkt i ligningen sin(π/6) = 1/2 hvorfor tallet
6b er en tilnærmelse til π. Hvor meget afviger 6b fra din egen approksimation til π?
2)Det oplyses, at alle de afledede af arcsin er voksende på [0 ; 1/2]
Hvilken maksimal afvigelse garanterer TL Korollar 11.2.2 af 6b = 6T3f(1/2) som en tilnærmelse til π.
11.2.2 Korollar Antag at f og dens n+1 første deriverte er kontinuerlige på intervallet [a, x]. La M være et tall slik at |f(n+1)(t)|≤ M for alle t mellom a og x. Da er
Jeg har bestemt T3f(x) = x + (1/6) * x3 og f(1/2)= 0.520833333
Jeg ved ikke hvad man skal gøre for at løse spørgsmål 1. da π/6 ≈ 3.14/ 6 = 0.5233333333,
6b = 3.1250.
Her kan jeg ikke konkludere spørgsmål 1.
2) Har jeg ingen idea om spørgsmålet.
Håber, at nogen vil hjælpe med opgaven.
Svar #1
13. oktober 2014 af Andersen11 (Slettet)
Se evt. https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=1528351
b er Taylorpolynomiets tilnærmede værdi for Arcsin(1/2) = π/6 , så 6b er en tilnærmet værdi for π .
Svar #2
13. oktober 2014 af Niko83 (Slettet)
Link-et ser som en diskussion, da jeg er kommet med det samme konklussion som dem på studieportalen.
Hvis man læser "Forklar med udgangspunkt i ligningen sin(π/6) = 1/2 hvorfor tallet
6b er en tilnærmelse til π." så kommer jeg at tro, at her menes noget mere.
Igen hvis man læser "Hvor meget afviger 6b fra din egen approksimation til π?" så må være noget relateret med taylorpolinomie, som jeg er ikke i stand til at komme videre.
Svar #3
13. oktober 2014 af Andersen11 (Slettet)
#2
Taylorpolynomiet T3(x) er en approksimation til funktionen Arcsin(x). Derfor er b = T3(1/2) en approksimation til tallet Arcsin(1/2) som er lig med π/6 . Derfor er 6b en approksimation til π.
Måske menes der med "din egen approksimation til π" den approksimation til π, som dit CAS-værktøj har indbygget i sig. Selv om dit CAS-værktøj har en indbygget konstant, der repræsenterer tallet π, er dette også kun en approksimation til tallet π.
Svar #4
13. oktober 2014 af Niko83 (Slettet)
I spørgsmål 2. er jeg henvist med definitionen, som er nævnt overfor. Jeg kan ikke sætte opgaven at hænge sammen med definitionen.
Svar #5
13. oktober 2014 af Andersen11 (Slettet)
#4
Man skal benytte restleddet til at beregne en værdi, som fejlen ved at benytte Taylorpolynomiet med garanti ikke overstiger.
Skriv et svar til: Taylorpolynomier;
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.