Matematik

Arcsin(x) - Taylorpolynomium. Forståelse af spørgsmålet.

12. oktober 2014 af Amril (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej. Det følger af

$sin(\pi /6) = 1/2$

$\pi = 6arcsin(1/2)$

Vi kan nu approksimere $\pi$ ved at finde et Taylor-polynomium af arcsin, evaluere i x = ½, og gange resultatet med 6. Dvs.

$6 \cdot T_n arcsin(1/2) \approx \pi$

Nu bliver jeg spurgt spørgsmålet:

Hvor meget afviger

$6 \cdot T_n arcsin(1/2)$

fra "din egen approksimation af $\pi$ "

Hvad menes der? Hvilken approksimation af $\pi$ snakker de om?

Brugbart svar (0)

Svar #1
12. oktober 2014 af peter lind

Du skal lave en Taylorrække for arsin(½+x)

Svar #2
12. oktober 2014 af Amril (Slettet)

Kan du uddybe det?

Brugbart svar (0)

Svar #3
12. oktober 2014 af peter lind

Du skal nok snarere lave en taylorrække ud fra x = 0 og derefter bruge den til at finde arcsin(½). Hvis der i din bog står hvordan man kan rækkeudvikle arcsin(x) kan du bruge den. Ellers må du lave rækkeudviklingen selv.

Svar #4
12. oktober 2014 af Amril (Slettet)

Det har jeg gjort. Jeg har fundet Taylorrækken omkring 0

$T_3 arcsin(x) = x \ + \ \frac{x^3}{6}$

hvilket giver

$6 \cdot T_3 arcsin(1/2) = 6 \cdot 1/2 \ + \ (1/2)^3 = 3.125 \approx \pi$

Hvad jeg ikke forstår er, hvor meget afviger udtrykket foroven, 3.125, fra min egen approksimation af $\pi$ ?

Jeg har da ikke noget approksimation af Pi?

Brugbart svar (0)

Svar #5
12. oktober 2014 af peter lind

Jo de 3,125 er din approksimation til π. du skal altså beregne π-3.125 eller hvis det skal være relativt 100*(π-3,125)/π

Svar #6
12. oktober 2014 af Amril (Slettet)

Det lyder bare mærkeligt. Jeg citerer nu opgaven direkte:

b = T₃arcsin(½), hvorfor 6b er en tilnærmelse til $\pi$ . Hvor meget afviger 6b fra din egen approksimation til $\pi$ .

Hvis 3,125 er min egen approksimation til $\pi$ og 3,125 netop er lig 6b = 6T₃ arcsin(½), så kan man da ikke sige "hvor meget afviger 3.125 fra 3.125"....

Er der en fejl i formuleringen, eller misforstår jeg noget?

Brugbart svar (0)

Svar #7
12. oktober 2014 af peter lind

Ifølge #4 har du fundet Taylorrækken for arcsin(x) og du har brugt det til beregne en tilnærmet værdi for π, så det passer da meget godt

Skriv et svar til: Arcsin(x) - Taylorpolynomium. Forståelse af spørgsmålet.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.