Bestm koordinatsæt

Hvis tangenten y = 3b²x - 2b³   skærer grafen for f(x) = x³ i et andet punkt skal der for det andet skæringspunkts x-koordinat gælde

        3b²x - 2b³ = x³

dvs.

        x³ - 3b²x + 2b³ = 0 .

Da x = b er en rod i polynomiet på venstre side, er (x-b) en divisor i dette polynomium, så vi har

        (x² + bx - 2b²)·(x-b) = 0

eller

        (x + 2b)·(x - b)² = 0 .

Mange tak! det forstår jeg godt. 
men når jeg selv skal løse den, har jeg problmer med at finde frem til  (x2 + bx - 2b2) ud af den blå luft. 
Er der en formel for dette, når man kender divisoren?

#3  TAk. Et andet spørgsmål.. Hvordan Ved man at x = b er en rod i venstre side? Hvordan kom du frem til dette?

#4

Det følger jo af, at røringspunktet (b , f(b)) ligger på tangenten.

#2

I stedet for at foretage polynomiers division, kan man bestemme kvotientpolynomiet ved at foretage divisionsprøven:

         (Ax² + Bx + C)·(x-b) = x³ - 3b²x + 2b³

Ved udregning af venstresiden får man ligninger til bestemmelse af A, B og C:

        A = 1

        -b·A² + B = 0

        -b·B + C = -3b²

        -b·C = 2b³ ,

hvoraf man så let ser, at

        A = 1 , B = b , C = -2b² .

Jeg kan stadig ikke få den til at gå op, når jeg anvender polynomiernes division..

Jeg har   x³ - 3b²x + 2b^{3 :} (x-b) 

Jeg tager det første led: x^3 ( x-b) = x^4 - x^3b??? Det kan jeg ikke trække fra, da intet er opløftet i 4.??

En anden ting, hvordan får du det til dette. når du sætter den lig 0:  x^33 - 3b^2x + 2b^3 = 0 .
Burde det ikke være  - x^3 + 3b^2x + 2b^3 = 0, eftersom du trækker x^3 fra begge sider?

#7

Du skal dividere x³ med (x-b), ikke gange det med (x-b)

         x³ - 3b²x + 2b³   :   x-b   =   x²  +bx -2b²
         x³ - bx²
         --------------------
         bx² -3b²x + 2b³
         bx² -b²x
         ---------------
        -2b²x + 2b³
        -2b²x + 2b³
        ----------------
        0

Dit sidste afsnit giver ingen mening.

Ah.. men dividerer du så med HELE (x-b) eller kun én af faktorne?

x op i x^3 er x3 , men x op i -b?

#9

Sæt dig ind i, hvordan man foretager polynomiers division. Forat finde det løbende bidrag til kvotienten dividerer man den største eksponent i divisoren (x-b) op i den største eksponent i den løbende rest. Man ganger så hele divisoren med det løbende bidrag til kvotienten og trækker fra.

x op i x³ er x², ikke x³ . Sæt dig ind i de almindelige regneregler for eksponenter.

Alternativt kan man benytte fremgangsmåden i #6.

Sorry, min fejl.. Skulle have sat mig bedre ind i det.. Har fumlet lidt med det, og kan ikke se hvordan du får det sidste led til - 2bx^2.. ( det er fortegnet jeg undrer mig over)... Har regnet frem og tilbage, men kan ikke se hvorfor.

#11

Man trækker (bx² -b²x) fra (bx² -3b²x + 2b³), altså

        (bx² -3b²x + 2b³) - (bx² -b²x) = bx² -3b²x + 2b³ - bx² +b²x = -2b²x + 2b³ .

Skal det forresten ikke   være minus i stedet for plus her  (x - 2b)·(x - b)2 = 0 .

#13

Nej, det skal det ikke.

        x² + bx -2b² = (x + 2b)·(x - b)

Hmm når.. øv, så er det en forkert måde jeg er kommet frem til det på...  

hvordan kommer du frem til:       (x + 2b)·(x - b)² = 0 .

Kan godt se det giver mening ved at tjekke efter, men sådan lige på stående fod, hvad gør du helt præcist?

#15

Ved at faktorisere kvotientpolynomiet x² + bx -2b² som vist i #14. Beregn rødderne i 2.-gradspolynomiet, hvis du ikke kan se det ved hovedregning.

Kan godt se du har faktoriseret det.. mere spørgsmålet, hvordan man lige kan se, at den skal sættes i 2. : (x-a)^2 

tror det er det som forvirrer

#17

Det kommer jo af den samlede faktorisering

        x³ - 3b²x + 2b³ = (x² + bx - 2b²)·(x - b) = (x + 2b)·(x - b)·(x - b)

                                = (x + 2b)·(x - b)²

Arrrrh,, tror der er noget som glipper her..  Pokkers :( 

x^2 + bx -bx^2 : (x-b)  = x- 2bx
-(x^2 + bx) +ax -bx^2 
-(2 bx +2b^2) - bx^2 
b^2 ????

#19

Jeg forstår ikke, hvad du laver her. Hvad har det med det ovenstående at gøre?