Matematik

Grænseværdi

19. oktober 2014 af hejmeddig121 (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hvis jeg skal finde grændeværdien for denne her:

$\underset{n-> uendelig }{\rightarrow} (1 + \frac{2}{n})^n$

Ved at n bliver større ved jeg at udtrykket også bliver større.. så n--> uendelige for (1+ (2/n)) --> uendelig?

Tror der er noget galt, eftersom alle mine grænseværdier går mod uendelig..... tror næppe det er tilfældet

Brugbart svar (0)

Svar #1
19. oktober 2014 af heyy12 (Slettet)

Du kunne benytte at en af definitionerne for eksponentialfunktionen er

$\exp(x) = \lim_{n\to\infty} \Big( 1 + \frac{x}{n} \Big)^n$

Brugbart svar (0)

Svar #2
19. oktober 2014 af Therk

Eller hvis du gerne vil vise ovenstående egenskab af eksponentialfunktionen: Lad

$x= \frac 2n.$

Så er

$\Bigl( 1+ \frac 2n \Bigr)^n = \exp \Bigl({ \log\bigl( (1+x)^{2/x} \bigr)} \Bigr)= \exp\Bigl( \frac{2\log(1+x)}{x}\Bigr)$

af kendte logaritmeregneregler.

Lad nu $_{x\rightarrow 0}$ (fordi $_{x\rightarrow 0 \text{ for } n\rightarrow \infty}$ ), så får du det ønskede med L'Hôpitals regel. Evt. kan du benytte at

$\lim_{x\rightarrow 0} \frac {\log(1+x)}x = 1,$

hvis du ikke kender L'Hôpitals regel.

Nævnte kendte logaritmeregneregler benyttet:

$\begin{align*} \log a^b &= b \log a &\text{ og}\\ c &= \exp(\log(c))\end{align*}$

hvis du ikke kan huske dem. :)

Brugbart svar (0)

Svar #3
19. oktober 2014 af Jegharbrugforhjælpp (Slettet)

Hvordan løser jeg generelt sådan en opgave?

skal jeg starte med at differentiere den eller hvordan?
Jo jeg kender godt Le Hopitales regel..men vil gerne vide hvor jeg starter i sådan en opgave.

Brugbart svar (0)

Svar #4
19. oktober 2014 af Therk

Generelt? Erstat 2-tallet med et generelt y og følg fremgangsmåden i #2. Du starter som nævnt ved at definere x som nævnt og omskrive dit udtryk som gjort i #2 også.

Skriv et svar til: Grænseværdi

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.