Matematik

Bevis for annuitetsformel (lidt alternativ)

26. oktober 2014 af ThereseMoreau (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej, jeg sidder med et bevis for annuitetsformlen, men det er en lidt alternativ annuitetsformel, og jeg forstår simpelthen ikke bogens bevis. Formlen lyder:

$A_{p}=\frac{a}{r}\left ( \left ( 1+r \right )^p -1 \right )$

a=beløb, r=rente, p=terminsdage. Jeg forstår at dette kan udtrykkes som

$\sum_{n=0}^{p-1}a(1+r)^i$

Derfra siger beviset:

$A_{p}=a\frac{1-\left ( 1+r \right )^p}{1-\left ( 1+r \right )}$

Dette er mit første dilemma, hvorfor må jeg dividere således og hvor kom -1 fra?

Næste dilemma, når man ophæver minusparantesen i nævneren, så får man nedenstående, jeg forstår hvorfor jeg får -r, men jeg forstår ikke hvordan -r pludselig bliver positivt i den næste:

$A_{p}=a\frac{1-\left ( 1+r \right )^p}{-r} =\frac{a}{r}\left ( \left ( 1+r)^p \right )-1 \right )$ Q.E.D.

Jeg ville sætte stor pris på det hvis nogen kunne hjælpe mig.

Brugbart svar (0)

Svar #1
26. oktober 2014 af Andersen11 (Slettet)

Bemærk, at r = 1 - (1-r) . Man har da

A_p = (a/r)·((1+r)^p -1) = (a/(-r))·(1 - (1+r)^p) = (1/((1-r)-1))·(1 - (1+r)^p)

På visse trin forlænges brøkerne med -1 .

Svar #2
26. oktober 2014 af ThereseMoreau (Slettet)

Svar #3
26. oktober 2014 af ThereseMoreau (Slettet)

Okay, jeg kan se det med at forlænge med -1, men resten må jeg indrømme, det forstår jeg simpelthen ikke. Jeg kan stadig ikke forstå hvorfor jeg kan sætte det hele på brøkstreg eller hvordan -r bliver positivt.

Brugbart svar (0)

Svar #4
26. oktober 2014 af Andersen11 (Slettet)

-r bliver jo til r ved at blive ganget med -1, som en del af forlængelsen af brøken med -1.
I tælleren bliver (1 - (1+r)^p) jo så til ((1+r)^p -1) .

Man benytter også

$A\cdot \frac{B}{C}=\frac{A}{C}\cdot B$

Skriv et svar til: Bevis for annuitetsformel (lidt alternativ)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.