Matematik

Bestem differentialkvotient for funktionen f(x) = 1/x

02. december 2014 af rasm105b (Slettet) - Niveau: B-niveau

Hej.

Min klasse og jeg har fået til opgave at bestmme differentialkvotient for funktionen f(x) = 1/x, hvor x er forskellig fra 0.
Opgaven er fra bogen Teknisk Matematik, Opgave 307.

Jeg har brugt tre trins reglen, men kan ikke komme videre end til trin 2.

Jeg får som billedet viser og kan ikke kommer videre.
Nogen, som kan vise mig på rette vej?

- Rasmus

Vedhæftet fil: 2014-12-02 11.06.17.jpg

Brugbart svar (0)

Svar #1
02. december 2014 af Drunkmunky (Slettet)

Bemærk, at din brøk nederst kan skrives som

$\frac{\frac{1}{x+\Delta x}-\frac{1}{x}}{\Delta x}=-\frac{1}{x^{2}+x\Delta x}$

og hvis du lader Δx gå mod 0, ser du, at brøken går mod -1/(x²).

Brugbart svar (0)

Svar #2
02. december 2014 af mathon

1. trin

$\Delta y=\frac{1}{x+\Delta x}-\frac{1}{x}=\frac{x-(x+\Delta x)}{x(x+\Delta x)}=\frac{-\Delta x}{x(x+\Delta x)}=\frac{-1}{x(x+\Delta x)}\Delta x$

2. trin

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\frac{-1}{x(x+\Delta x)}\cdot \Delta x}{\Delta x}=\frac{-1}{x(x+\Delta x)}$

3. trin

$\underset{\Delta x \to0 }{\lim} \; \frac{\Delta y}{\Delta x}=y{\, }'=\frac{-1}{x(x+0)}=-\frac{1}{x^2}$

Svar #3
02. december 2014 af rasm105b (Slettet)

#1
Jeg kan ikke helt se hvordan du får x^2.

For når man dividere en brøk med et tal må man gange tallet med nævneren.

Dertil vil jeg mene at det blev Δx^2

Svar #4
02. december 2014 af rasm105b (Slettet)

#2
Hvordan får du som det vedhæftede billede viser?

Vedhæftet fil:Screen Shot 2014-12-02 at 13.09.40.png

Brugbart svar (0)

Svar #5
02. december 2014 af mathon

$\frac{1}{x+\Delta x}-\frac{1}{x}$ har fællesnævneren $x(x+\Delta x)$

1. brøk forlænges med x
2. brøk forlænges med (x+Δx)

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \frac{x\cdot 1}{x\cdot \left (x+\Delta x \right )}-\frac{\left ( x+\Delta x \right )\cdot 1}{x\cdot \left ( x+\Delta x \right )}=\frac{x-(x+\Delta x)}{x(x+\Delta x)}=\frac{x-x-\Delta x}{x(x+\Delta x)}=\frac{-1}{x(x+\Delta x)}\cdot \Delta x$

Brugbart svar (0)

Svar #6
02. december 2014 af mathon

#3
$\frac{\frac{1}{x+\Delta x}-\frac{1}{x}}{\Delta x}=-\frac{1}{x^{2}+x\Delta x}$

er blot #5's
$\frac{\frac{-1}{x(x+\Delta x)}\cdot \Delta x}{\mathbf{\color{Red} \Delta x}}=-\frac{1}{x^2+x\Delta x}$

Svar #7
02. december 2014 af rasm105b (Slettet)

Forstår det nu! Tusind tak :)

Skriv et svar til: Bestem differentialkvotient for funktionen f(x) = 1/x

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.