differentialligning

a) Man skal eftervise, at funktionen y(x) = x+1 er en løsning til den inhomogene differenitalligning givet i opgaven. Det gøres ved at indsætte funktionen i differentialligningen (man gør prøve). Når det er vist, ved man, at x+1 er en partikulærløsning til den inhomogene ligning.

b) Løs den tilsvarende homogene differentialligning (hvor differentialligningens højreside er = 0). Opskriv derefter den fuldstændige løsning til den inhomogene differentialligning.

c) Bestem integrationskonstanterne ud fra de opgivne begyndelsesbetingelser.

Jeg forstår ikke helt det med opgave b. Hvilken homogen ligninng er der tale om?

#3

Den homogene differentialligning er

        d²y/dx² + 2·dy/dx + 2y = 0

Når højresiden er lig med 0, kaldes ligningen homogen. Man finder den fuldstændige løsning til den inhomogene ligning ved at lægge en partikulærløsning for den inhomogene ligning til den fuldstændige løsnig for den homogene ligning.

Okay. Så den partikulære løsning fra opgave a) skal jeg lægge sammen med svaret for den homogene ligning? 

Den homogene ligning kan vel bare løses som en andenradsligning og derefter indsætte rødderne i udtrykket: y=C1*e^r1+C2*e^r2, hvis rødderne er reelle?

#5

a) Ja.

Til den homogene differentialligning hører der et karakteristisk polynomium, der her er et 2.-gradspolynomium, og rødderne karakteriserer løsningerne, ja. Her er rødderne ikke reelle.