Matematik
Hjælp til differentialregning optimering/monotoniforhold
Hej :-)
Er der nogle derude, som kan hjælpe mig igang (fra start til slut) med disse to opgaver? Jeg sidder nemlig lidt fast, da jeg blander det hele sammen, så jeg håber at nogle har tid og lyst til at hjælpe med hvordan jeg løser disse!
Opgaverne lyder som følge:
Opgave 5:
En funktion er bestemt ved: x^3 - 3x^2 - 9x + 6.
a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P(2,f(2))
b) Benyt f'(x) til at argumentere for grafens forløb.
Opgave 6.
Om en funktion f oplyses, at dens differentialkvotient er givet ved: f'(x) = x^4 - x^3 - 3x^2 + 5x - 2.
a) Bestem monotoniforholdene for f.
Mvh. Camilla
Svar #1
02. februar 2015 af Andersen11 (Slettet)
Opg 5. Beregn f(2) og f '(2) og indsæt i tangentligningen.
b) Løs ligningen f '(x) = 0 og bestem monotoniforholdene for f(x).
Opg 6. Løs ligningen f '(x) = 0 og bestem fortegnsvariationen for f '(x) . Oversæt denne til monotoniforholdene for f(x).
Svar #2
03. februar 2015 af CamillaKJørgensen (Slettet)
Okay, mange tak! :-)
Tror godt jeg kan lave opgave 5.
Men i opgave 6. Hvordan er det man bestemmer fortegnsvariationen? Og derefter oversætter til monotoniforhold?
Svar #3
03. februar 2015 af CamillaKJørgensen (Slettet)
Og til opgave 5. Skal jeg ikke bare indsætte 2 i tangentligningens formel?
Svar #4
03. februar 2015 af CamillaKJørgensen (Slettet)
Har slet ikke styr på hvordan man gør...
Mit gæt er: y= f(2) + f'(2) *(2-2) ?
Er det rigtigt? og hvordan skal det beregnes?
Svar #5
03. februar 2015 af CamillaKJørgensen (Slettet)
Okay, jeg har fået f(2) til = -16 og f'(2) til = -9.
Så har jeg forsøgt mig frem således:
y = f(-16) + f'(-9) *(x - 2)
= (-16) + (-9x) * 2
= -16 - 18x
Er det rigtigt regnet?
Svar #6
03. februar 2015 af Andersen11 (Slettet)
#4, #5
Opg 5 a) Man skal beregne talværdierne f(2) og f '(2) ved at benytte forskriften
f(x) = x3 - 3x2 - 9x + 6
hvorefter man indsætter disse talværdier i tangentligningen
y = f '(2) · (x - 2) + f(2)
= -9 · (x - 2) + (-16)
= ...
Dit resultat er ikke korrekt, og det er ikke f(-16) og f(-9) der indsættes, men f(2) og f '(2) .
Svar #8
03. februar 2015 af CamillaKJørgensen (Slettet)
Jeg gjorde sådan her:
f(2) = 2^3 - 3*2^2 - 9*2 + 6 = - 16
Og derefter differentierede jeg formlen til:
f'(x) = 3*x^2 - 6 * x - 9.
Og derefter:
f'(2) = 3*2^2 - 6 * 2 - 9 = - 9
Og så var det at jeg indsatte -9 og -16 i ligningen, som der stod i følge formlen, at jeg skulle indsætte f(x) og f'(x).
Er det ikke rigtigt nok? :-)
Svar #9
03. februar 2015 af Andersen11 (Slettet)
#8
Jo, det er korrekt. Du skal så indsætte korrekt i tangentligningen. Det var på det punkt, at det gik i fisk i #5.
Svar #10
03. februar 2015 af CamillaKJørgensen (Slettet)
Nu indsætter jeg i formlen:
y = f(x0) + f'(x0) * (x-x0)
= (- 16) + (-9) *(x - 2)
= (- 16) + (-9x) * 18
= - 16 - 162x
Svar #11
03. februar 2015 af CamillaKJørgensen (Slettet)
Hvad gør jeg forkert i denne? kan ikke helt se det :-/
Svar #12
03. februar 2015 af Andersen11 (Slettet)
#11
-9·(x - 2) er ikke lig med -162x . Man ganger en toleddet størrelse med et tal ved at gange hvert led i st8rrelsen med tallet.
-9·(x - 2) = -9·x -9·(-2) = -9x + 18
Svar #13
03. februar 2015 af CamillaKJørgensen (Slettet)
Så ligningen giver altså:
-16 - 9x + 18
= 2 - 9x?
Svar #14
03. februar 2015 af Andersen11 (Slettet)
#13
Ja, det er højresiden af ligningen. Tangentens ligning skrives
y = -9x + 2 .
Svar #15
03. februar 2015 af CamillaKJørgensen (Slettet)
Okay, tak for det! :-)
Hvad så det med at argumentere for grafens forløb i opgave b, hvordan er det nu lige man gør dét? Har fundet monotoniforholdene ved at løse f'(x) = 0. :-)
Svar #16
03. februar 2015 af Andersen11 (Slettet)
#15
Så benytter man, at f(x) er voksende, hvor f '(x) > 0 , og f(x) er aftagende, hvor f '(x) < 0 . Fortegnsvariationen for f '(x) vil også vise, hvor f(x) har lokale ekstrema.
Svar #17
03. februar 2015 af CamillaKJørgensen (Slettet)
Okay, jeg prøver at skrive noget ala det :-)
Hvad så med i opgave 6? Hvad skal man gøre anderledes når der f'(x) iforhold til hvis der stod f(x)? og hvordan skal man oversætte til f(x)?
Svar #18
03. februar 2015 af Andersen11 (Slettet)
#17
Der kender man umidelbart forskriften for f '(x) og kan så lave en fortegnsundersøgelse for f '(x), der så oversættes til en monotoniundersøgelse for f(x).
Svar #19
03. februar 2015 af CamillaKJørgensen (Slettet)
Men når fortegnsundersøgelsen er lavet, hvordan mener du så at man skal oversætte den til f(x)? jeg er ikke helt med :-/