Kombinatorik

Tænker at det er:

K_n,r = n! / r!(n-r)!

a.
K_15,9·K_9,4·K_9,2·K_9,3 = 1.907.025.120

#1
Korrektion:

K_15,4·K_11,2·K_9,3 = 6.306.300 muligheder

b.

2 udvalg på hhv. 5 og 7  medlemmer

Direktøren skal være med i begge

15 medlemmer = {A,B,C,...,O}, lad os kalde A for direktøren.

A _ _ _ _ _

14 kan fordeles på den første plads

A × 14 × _ × _ × _

Udfylder resten..
A × 14 × 13 × 12 × 11

Og A er der kun 1 ud af de 15 der kan være
14!/(4!(14-4!)) = 1001 muligheder

Det næste udvalg er der 7 pladser, og der er 15 der kan komme på.

A × 14 × _ × _ × _ × _ × _

Udfylder resten..
A × 14 × 13 × 12 × 11 × 10 × 9

14!/(7!(14-7)!) = 3432

Der er i alt: 1001·3432 = 3.435.432 muligheder

Tak for svaret, men i det andet udvalg kan man vel ikke vælge blandt 14 medlemmer, da menige medlemmer ikke må indgå i begge udvalg.

Jeg vil sige, at man for det andet udvalg kun kan vælge blandt 10 medlemmer. Dvs. K(10,7). Eller er det helt forkeret forstået?

Derudover er der jo 15 forskellige, som kan vælges til formand, hvorfor man skal multiplicere med 15.

Dvs., at jeg får:

K(14,4)*K(10,7)*15=1.801.800

Er jeg helt forkert på den?

#4

Jeg antog at i opgave b) At der ikke gælder den samme regel som i opgave a)

i a) Der skal vælges: 4, 2, og 3 personer.. 4 + 2 + 3 = 9

b) der skal vælges 5 og 7 personer, hvor formanden skal være med i begge.

5 + 7 (samme mand i begge betyder) 5 + 6 = 11

I alt 20 personer... Derfor antager jeg at reglen fra opgave a)  "De 3 udvalg må ikke have noget medlem til fælles", ikke er gyldig i b), da der kun er 15 medlemmer at tage af

#5

Der står ikke noget om, at der skal vælges en formand...

b)..

Formanden "A".

7 pladser til 15 mennesker... hvor formanden er én af dem...

_ _ _ _ _ _ _   (7 pladser)

A _ _ _ _ _ _ (formanden + 6 pladser)

Det vil sige at vi nu har 14 mennesker der kan få pladsen lige efter formanden

A × 14 _ _ _ _ _ (Formanden + en anden + 5 pladser tilbage)

Den næste plads i udvalget kan nu trække på 13 personer... Og dernæst 12 personer, og så videre...

A × 14 × 13 × 12 × 10 × 9 × 8

Nu har vi alle mulige måder, hvorpå vi kan få personer...

De giver i alt: 14!/7! måder...

Problemet nu, er at dette er en permutation... dvs

A B C D E F G ses som værende forskellig fra B C D E F G A, hvilket vil sige, at vi tæller samme "gruppe" med flere gange..

Her kan vi jo sagtens se, at de to er "nøjagtig" det samme.

Derfor skal vi have fjernet dem..

Der er 7! = 5040 gange hvor denne hændelse optræder... Dvs. at antallet af kombinationer er:

(14!/7!)/7! = 14!/(7!·7!) = 3432 

Vi har derfor 3432 forskellige kombinationer, hvorpå, at vi kan vælge 7 hvor 1 af dem er formanden

#7

Et sted i din udredning har du sprunget en faktor 11 over. Det skulle jo blive

        14! / (14-6)! = 14! / 8!

Når formanden er født medlem i hvert af de to udvalg på hhv 5 og 7 medlemmer, betyder det, at der reelt skal udtages hhv 4 og 6 medlemmer blandt de 14 resterende medlemmer, dvs

        4 medlemmer:     14! / (4!·(14-4)!) = 14! / (4!·10!) = 14·13·12·11/(4·3·2·1) = 7·13·11

        6 medlemmer:     14! / (6!·(14-6)!) = 14! / (6!·8!) = 14·13·12·11·10·9 / (6·5·4·3·2·1) = 7·13·11·3