Polynomier forskriften

f(x) = 4x3 + 2x2 + 5x + 6 er et eksempel på et polynomium. Her er n=3 (den højeste potens, der forekommer), a3 = 4, a2 = 2, a1 = 5 og a0= 6.

Når polynomiet skrives generelt op, kender man ikke talværdierne. Er den højeste potens 2 eller 5 eller 350? Så kalder man den n og venter med at skrive værdien til man kender den. Derfor ved man heller ikke, hvor mange led, der er. Derfor de tre prikker, der viser, at her står der et ukendt antal led, der har samme form som de andre.

a₁ hører sammen med x, som kan skrives x¹ ligesom a₂ hører sammen med x². og a₀ hører sammen med x⁰=1. Når man skriver det sådan kan alle ledene skrives på formen a_i*xⁱ, hvor i har værdierne 0 til n.

Et vilkårligt polynomium kan opskrives på formen 

            p_n(x) = Σ_i=0ⁿ  a_ixⁱ            n≥0 ,  a_i ∈C

Omvendt hvis du kan opskrive en vilkårlig funktion på netop den form, dermed har du et polynomium. Man vil kun beskæftige sig med generelle fremstilling, hvis man vil sige noget generelt om polynomier. 

Hvis a_i∈R ∧ n = 2  har du  et reelt andengradspolynomium, hvilket du er blevet introduceret til. 

       p₂(x) = Σ_i=0²  a_ixⁱ    = a₂x² + a₁x¹ + a₀x⁰ 

Hvis du sætter    a₂ = a  ,  a₁ = b  og a₀ = c  og indser at x⁰=1, har du 

      p₂(x) = ax² + bx + c 

Andengradspolynomier er altså en delmængde af mængden af alle polynomier. Netop da den er meget simpel og lettilgængelig, er du blevet introduceret til den. 

Det ser lidt pænere og mere forståeligt ud sådan:

Det store græske bogstav sigma (Σ) står her for "summen af ". "i" bruges som tæller, der går fra "0" (står nederst) og til "n" (står øverst). De led, der så skal lægges sammen har alle formen a_ixⁱ.

Jeg ville have ventet med denne skrivemåde for ikke at gøre tingene for indviklede, men det er her, man kan se det fornuftige i at have de to sidste led på formen a₁x₁ og a₀x⁰.

#0 f_n(x) = a_n * xⁿ + a_n-1 * x^n-1 + ... a₁ * x + a₀

Du kender andengradspolynomiet som f(x) = a·x² + b·x + c. Denne måde at skrive et polynomium op på kan ikke bruges generelt, da man risikerer at løbe tør for bogstaver. I stedet for benytter man skrivemåden:

førstegradspolynomiet: f₁(x) = a₁·x + a₀

andengradspolynomiet: f₂(x) = a₂·x² + a₁·x + a₀

tredjegradspolynomiet: f₃(x) = a₃·x³ + a₂·x² + a₁·x + a₀

n-te-gradspolynomiet: f_n(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁·x + a₀

Prikkerne står for at forsætter med led af stadig levere grad og deres tilhørende koefficienter indtil, man når ned til leddet af første grad og til sidst konstanten.

Det er vel værd at bemærke, at for alle reelle polynomier  {p_n}   gælder:
        a_n ∈ R \ {0}    ∧    a_{n - 1} ; a_{n - 2} ; ... ; a₀ ∈ R 
Heri ligger, at koefficienten til x i højeste potens, polynomiets grad, ikke må være 0, men at alle øvrige koefficienter gerne, helt eller delvis, må være 0.     

Et polynomiums grad er givet ved    n ≥ 0   når den kan skrives som og der gælder at a_n ≠ 0

       f_n(x) = a_nxⁿ + a_n-1 x^n-1 + ... a₁x + a₀

Hvis nu a_i = 0  for ∀i     har man det uegentlige nulpolynomium 

        p₀(x) = 0

som ikke tillægges nogen som helst grad

Det ser fandme sjovt ud :-)

Hvorfor skriver i sådan til en, der går på 2. år af gymnasiet??

#0 må da være ved, at falde død om, af jeres matematik?

_{^{Psst. Jeg tror i glemmer, at der er tale om en, som har matematik på B niveau.. (sandsynligvis lige begyndt på B niveau).
#5 må helt klart være den som #0 har nemmest ved at forstå..}}

#8 :   Hvis man stiller et spørgsmål, der er over ens eget niveau, så er det på ens eget bekostning. Man kan kun forvente et svar, der tilnærmer niveauet som spørgmålet i første omgang lægger op til.

Nu er jeg ikke bekendt med din opfattelse af Studieportalen, men du lyder til at være ret så snæversynet. Når et indlæg skal bevares, må alternative svar og forklaringer gerne inkluderes, for der vil med al sandsynlighed være elever eller studenter i fremtiden, der vil have samme problemer og vil have behov for alternative forklaringer og måske en eventuel uddybning.

Nu er jeg heller ikke bekendt med niveauet på "HHX", men på STX kan elever med matematik på andet år godt forstå de begreber, symboler og funktionsklasser, som der er blevet omtalt i det ovenstående. Du kunne naturligvis benægte dette. Spørgsmålet er bare, hvorfor skulle #0 ellers blive introduceret til n'tegradspolynomium?

#8 og #9

Skal vi ikke stoppe her. Der er ingen grund til at gisne om det ene eller det andet om trådstarter. Det gør man ikke på SP udover, hvad der er nødvendigt for at svare på spørgsmålet.

#9 _{^{(En sidste kommentar)}}

n'te gradspolynomiet er som en del af lærerbogen på HTX... Det er ikke over deres niveau.. Man må respektere, at der tale om en person der lige er kommet op på 2. år..

(Blev i virkelig introduceret for bl.a alkvatoren, indeks, summationstegnet, komplekse tal, på første årgang i matematik?)

_{^{Det går snart i igen, med mit lille flip... Har haft abstinenser efter at komme i gang igen... (og måske også pga. af øllene?)}}