Et frit fald

At boldene opnår en konstant hastighed skyldes at

F_tyngde + F_luft = 0   ved en given hastighed.

F_luft = k * v(t)²  ( turbulent strømning ved højere hastigheder ), hvor k er en konstant.

Kender du boldens masse og v_max , kan k bestemmes.

Du kan så vise, at a(t) = ( F_tyngde + F_luft(t) ) / m.

Du skal nok tage lidt numeriske beregninger til hjælp her, for at eftervise det ( fx få en numerisk beregning til at finde faldtider fra forskellige højder, og eftervise at faldtiderne ( i praksis ) / ( ved beregning ) stemmer overens ved et givet k ).

Du kan jo "gætte" at v_max = 200 km/t. ( fodbold ).

"Du kan så vise, at a(t) = ( Ftyngde + Fluft(t) ) / m."

Det led forstår jeg ikke helt.

Newton:  a(t) = F(t) / m.   Acceleration = kraft / masse.

a(t) = ( F_tyngde + F_luft(t) ) / m = ( ( m*g ) + k*v(t)² ) / m.

Find k.

Når v(t) = v_max  er  a(t) = 0.   ( konstant hastighed ).

Altså man laver et program, noget lignende ( pseudokode ).

v := 0; s := 0; t := 0; dt := 0.001;    ( 1 ms )
k := -??; g = 9.82; m := 2;              ( negativt fortegn )
for i := 1 to 20000 do                   ( 20 sek )
begin
   a := (m*g + k*v²)/m                  (accelerationen)
   v := v + a*dt                             ( faldhastigheden )
   s := s + v*dt                             (faldlængden)
   t := t + dt                                 (faldtiden)
   writeln( a, v, s, t )
end

Så får du en laaaang tabel med sammenhænge udskrevet.

Brug ikke excel, det bliver aldrig færdigt.   :)

#4:  Se vedhæftede

#6:  Bestemmer og bestemmer ?

Jeg har gættet at bolden med en masse = 2kg , kan falde med 200 km/t = 55.56 m/s.

Ved v_max er a = 0 , hvorfor

m*g = -k*v_max²   →

k = -0.006362

Ændrer du v_max eller m, finder du selvfølgelig en anden k-værdi.

Du ser jo i tabellen i #5, at hastigheden asymptotisk nærmer sig 55.56 m/s.

Har lige kigget det igennem nu. Forstår det rimelig fint nu.

En lille ting:

Formlen for luftmodstanden skriver du er -k*v^2.

I mine lærerbog står der: 1/2*luftens massefylde*A*cw*v^2.

K må så være en betegnelse for 1/2*luftens massefylde*A*cw

Eller hvad?

F_luft = -k*v²  siger blot, at F er proportional med kvadratet på hastigheden.

Du kan så slutte, at k = 1/2*luftens massefylde*A*cw, men det er ligegyldigt for fremgangsmåden beskrevet i  #1.  Disse cw-værdier, Reynolds number, osv. er temmelig "far out". Et gæt på en max faldhastighed er langt mere håndgribeligt.

En faldskærmsudspringer uden skærm falder med ca. 220 km/t. Derfor mit gæt med fodbolden ( noget lettere pr. volumen, men kugleformet ).