vinkelspidser ud fra vektorer

Hej Ella

Jeg har vedlagt et dok, hvor du kan se princippet i løsningen.

Skriv, hvis du ikke forstår.

jeg forstår ikke det første du skriver i dokumentet.. altså det ser meget uoverskueligt ud.. og er det en af måderne at løse den på eller skal den også løses ved hjælp af cas?

CAS-tegning. Den trekant, som man får ved at forbinde midtpunkterne, deler hele trekanten i 4 ens trekanter. Som antydet findes hjørnerne i hele trekanten ved hjælp af vektor-summer, idet to af del-trekanterne lagt sammen giver et parallellogram.

Hej Ella

Princippet er blot at du f.eks tager udgangspunkt i (3,13/2). Hvis du lægger vektor1 til (3,13/2) får du B. Du får også punktet B, hvis du til (5,8) lægger vektor2 til, får du også B. Derfor må det gælde, at (3,13/2)+vektor1=(5,8)+vektor 2.

På samme måde kan du finde A som (5,8)-vektor2, hvilket skal være det samme som (4,9/2)-vektor3. DU får så ligningen (5,8)-vektor2=(4,9/2)-vektor 3 og tilsvarende med den sidste vinkelspids. Jeg har skrevet punkterne som (x,y), men ud skal skrive dem som vektorer (stedvektorer)

Vektor1 og -vektor1 er modsat rettede og lige lange.  Du kalder så vektor1 eks. for (x1,y1) vektor 2 for (x2,y2) og så videre (igen skrevet som vektorer).

Første ligning: (3,13/2)+vektor1=(5,8)+vektor 2. bliver så til to ligninger - en i x og en i y:

3+x1=4+x2 og 13/2+y1=8+y2

Hvis du gør det samme med de to andre ligninger får du 4 ligninger yderligere.

De 6 ligninger skal du så løse mht. x1,x2,x3,y1,y2 og y3.

Når du så kender x1 og y1 har du vektor 1. Vinkelspidsen finder du så som (3,13/2)+vektor1. Det samme resultat får du selvfølgelig ved at udregne: (5,8)+vektor 2.

Hvis du har lært at løse 6 ligninger med 6 ubekendte, kan du selvfølgelig godt løse dem i hånden, ved at isolere en variabel af gangen. Tror ikke du har lært Gauss-Jordan (som er en meget nem måde at løse n ligninger med n ubekendte):-)

Til skriftlig eksamen må du godt løse ligningerne med Nspire (eller hvad for et program, du nu har til rådighed). Det man ønsker at kontrollere, ved at lave en sådan opgave, er at du kan gennemskue opgaven og stille de 6 ligninger op (eller de 3 vektorligninger, som jeg har gjort i Nspire). Når det er gjort, er det 100% tilladt at løse dem med Nspire. Du får IKKE ekstra point for at løse dem i hånden.

men hvordan kan den løses i hånden?

har selv prøvet at skrive dem op:

hvor formlen for at finde midtpunktet er givet ved:

A_x(M) = (a_1+b_1) / 2      A_y(M) = (a_2+b_2)/2    B_x(M) = (b_1+c_1)/2 B_y(M) = (b_2+c_2)/2   C_x(M) = (c_1+a_1)/2   C_y(M) = (c_2+a_2)/2

det giver så seks ligninger med seks ubekendte.. hvor (a_1,a_2) (b_1,b_2) og (c_1,c_2) er trekantens oprindelige vinkelspidser.. men hvordan kan jeg komme videre med det.. kan ikke helt se hvordan det kan løses :)

mathjælper hvad med denne metode?

forstår ikke helt det med at skrive dem som stedvektorer..

okay nu har jeg forsøgt mig frem:

3 + x1 = 5 + x2

6,5 + y1 = 8 + y2

5 - x2 = 4,5 -x3

8 - y2 = 2 - y3

3 - x1 = 4-x3

6,5 - y1 = 4,5 - y3

og så prøver jeg bare at løse den på wordmat

#5...Som antydet findes hjørnerne i hele trekanten ved hjælp af vektor-summer, idet to af del-trekanternes sider opfattet som vektorer lagt sammen giver et parallellogram, hvor diagonalen er en vektor, der går fra et midtpunkt til dets tilhørende hjørne i den store trekant.

#12 Ja men hvad kan man bruge den oplysning til? :)

I en trekant ABC forbinder man sidernes midtpunkter. Herved får man en ny trekant A'B'C' som er ensvinklet med ABC og halv så stor på hver led.

Antag at man kender trekant A'B'C'. For at finde f.eks. C i ABC tager man summen af vektorerne C'A' og C'B'. Denne vektor vil gå fra C' til C, som man derefter kan finde koordinaterne af, når man kender koordinaterne for A', B' og C', der er givet i opgaven.

Dette er vist på billedet.

Dine ligninger er næsten rigtige:

Dine ligninger med x skal være:

Ligning1: 3 + x1 = 5 + x2

Ligning2: 5 - x2 = 4 -x3

Ligning 3: 3 - x1 = 4+x3

Du kunne eks. lægge ligning 1 og 3 sammen først (da du hermed eliminerer x1 fra ligningerne). Resultatet er: 6=9+x2+x3

Dernæst kunne du isolere x2 i ligning 2:  1+x3=x2.

Dette resultat indsætter du på x2's plads i ligningen du fandt først:

6=9+(1+x3)+x3 => -4=2*x3  => x3=-2 Ud fra denne løsning kan du finde de to andre. Først bruger du 1+x3=x2 til at bestemme x2, og dernæst en af dem, der indeholder x1.

Tilsvarende gør du med dine ligninger med y:

Ligning 1: 6,5+y1=8+y2

Ligning 2: 6,5-y1=4,5+y3

Ligning 3: 4,5-y3=8-y2

Her kan du med fordel lægge ligning 1 og 2 sammen (da du så eliminerer y1): 13=12,5+y2+y3 => y3=0,5-y2

Resultatet sætter du ind i ligning 3: 4,5-(0,5-y2)=8-y2 => 4+y2=8-y2 => 2*y2=4 => y2=2

Resultatet sætter du ind i ligning 1 for at finde y1 og ind i ligning 3 for at finde y3.

Når du har alle x og y, så ved du eks. at den ene vinkelspids kan findes som: (3,13/2)+ vektor1 =(3,13/2)+(x1,y1) (selvfølgeligt skrevet som vektorer) og på tilsvarende vis for de to andre vinkelspidser.

Håber det hjælper...