Matematik

Komplekse koefficienter af en Fourierrække

11. november 2015 af hammer26 (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

$f(x) = 1+\frac{1}{2}sinx+\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{2^{n}}cosnx$

Jeg skal finde c_n for Fourierrækken. $c_{n} = \frac{1}{2}(a_{n}-ib_{n})$ og a₀ = 2, a₁ = 1/2sinx og $a_{n}=\frac{1}{2^{n}}cosnx$

Hvordan finder jeg c_n ? Jeg forstår det ikke pga det ekstra led i f(x) på 1/2sinx ?

Brugbart svar (0)

Svar #1
11. november 2015 af peter lind

du skal bruge at sin(u) = ½(e^iu-e^iu)/i og

cos(u) = ½(e^iu+e^-iu)

Svar #2
11. november 2015 af hammer26 (Slettet)

Men kan det ikke være at 1+sinx er 1/2a0? Og an er det efter summationstegnet?

Så kan jeg finde c0 og cn? Jeg forstår ikke helt hvad jeg skal gøre med #1 ?

Svar #3
12. november 2015 af hammer26 (Slettet)

Er følgende så de komplekse koefficienter?

$c_{0}= 2, c_{1}=\frac{1}{2}(\frac{i}{2}e^{-ix}-\frac{i}{2}e^{ix}), c_{n}=\frac{1}{2^{n}}(\frac{1}{2}e^{-inx}+\frac{1}{2}e^{inx})$

De kan jo ikke reduceres ret meget mere? C₁ kan blive til en kvart istedet for, men c_n kan der ikke gøres meget ved ?

Svar #4
12. november 2015 af hammer26 (Slettet)

Og samtidig skal jeg bestemme en værdi $N\in \mathbb{N}$ således at den N'te afsnitssum S_N opfyder at $\left | f(x)-S_{N}(x) \right | \leq 0.01 , \forall x$

#1 kan du pædagogisk forklare hvordan jeg griber det an? Jeg har forsøgt at læse mig til det i min lærebog, men jeg kan ikke omsætte teorien til noget brugbart. Jeg har brug for at lære ved eksempler desværre. Tror du at du kan/gider hjælpe mig så jeg kan lære det?

Brugbart svar (0)

Svar #5
12. november 2015 af Keal (Slettet)

For en funktion f defineret på [-π,π] gælder

hvor

Benyt så at for din funktion er

Brugbart svar (0)

Svar #6
12. november 2015 af Keal (Slettet)

#4 Hvor går du i stå med opgaven?

Svar #7
12. november 2015 af hammer26 (Slettet)

#3 jeg kan ikke se hvad du skriver, desværre ?

Mener du at mine koefficienter er korrekte?

Brugbart svar (0)

Svar #8
12. november 2015 af peter lind

For at finde c_n og c_-n skal du se på a_n og b_n. for n = 1 har du ½sin(x)+½cos(x) = ½(e^ix)-e^-ix)/(2i) + ½(e^ix+e-^ix)/2 = 4^-1*(e^ix/i-e^-ix/i +e^ix+e^-ix)

herefter skal du bare samle led med e^ix og e^-ix koefficienterne er til e^ix er c₁ og koefficienterne til e^-ix er c_-1

Svar #9
12. november 2015 af hammer26 (Slettet)

Okay det er jeg ikke helt med på. Fordi ved cos indgår der n, der gør der ikke ved sin. Og sin står uden for sum tegnet, derfor troede jeg at det var c1? Jeg troede også at der kun var an pga cos efter sum tegnet.og derfor bn=0. Undskyld jeg spørger men jeg vil utroligt gerne forstå det her.

Brugbart svar (0)

Svar #10
12. november 2015 af peter lind

Det betyder blot at b₁ = ½ og for n>1 er b_n=0

Svar #11
12. november 2015 af hammer26 (Slettet)

Men hvorfor er der b_n i den række ? Når der er cos efter Sumtegnet er det så ikke for at alle b_n er nul ?

Og jeg har a₀ som er 1, a₁ som er sinx og a_n som er 1/2^n cosnx ?

Jeg kan simpelthen ikke forstå hvor b_n kommer fra ? G-d hvor ville jeg ønske jeg forstod det her :o(

Brugbart svar (0)

Svar #12
12. november 2015 af peter lind

fourierrækken skrives normalt som

½a₀+∑( a_ncos(n*x) + b_n*sin(n*x) ) hvor summationen sker fra n=1

Hvis du sammenligner med din række betyder det at

a₀=2 a_n=(½)ⁿ, b₁ = ½ og b_n=0 for n>1

Svar #13
12. november 2015 af hammer26 (Slettet)

Tusind tak for svaret, så er jeg med på det.
Men i #8, hvorfor er n ikke men i cosnx udregningen?

Brugbart svar (0)

Svar #14
12. november 2015 af peter lind

Det er c₁ og c_-1 der findes eller med andre ord n=1

Svar #15
12. november 2015 af hammer26 (Slettet)

Men hvad så for alle andre n? Der er måske ligegyldigt i denne sammenhæng?
Skal man kun finde de to c'er. Hvad med c0?

Brugbart svar (0)

Svar #16
12. november 2015 af peter lind

c₀ se #12

Rækken for n > 1 har jeg blot overladt til dig selv. de oefficienter skal selvfølgelig også findes. Nu har jeg gennemgået for den mest komplicerede nemlig n=1. Så kan du prøve metoden for n> 1

Svar #17
13. november 2015 af hammer26 (Slettet)

Okay, jeg har prøvet. Jeg er rimelig sikker på jeg forstår det første nu, mange tak for hjælpen her Peter.

Jeg har at c₀ = 1, $\frac{1}{2}sinx+\frac{1}{2}cosx = \frac{1}{2}(\frac{i}{2}e^{-ix}-\frac{i}{2}e^{ix})+\frac{1}{2}(\frac{1}{2}e^{-ix}+\frac{1}{2}e^{ix}) = (\frac{1}{4}+\frac{1}{4}i)e^{-ix}+(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}i)e^{ix}$

Og det giver så at $c_{1}= \frac{1}{4}-\frac{1}{4}i , c_{-1}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}i$

Nu kommer så c_n for n>1, jeg har brugt samme fremgangsmåde for c_n som for de andre og jeg får:

$c_{n}=\frac{1}{2}*\frac{1}{2^{n}}=2^{-n-1} for n=1,2,3,...$ , $c_{n}=\frac{1}{2}*\frac{1}{2^{-n}}=2^{n-1} for n=-1,-2,-3...$

Er det nogenlunde korrekt ? Eller er jeg stadig lost her :o(

Kan du hjælpe mig med #4 også? på forhånd tak

Brugbart svar (0)

Svar #18
13. november 2015 af peter lind

Den sidste er ikke rigtig. For n > 1 har du summen

∑2-n(e^inx+i*e^-inx)/2 = ∑2^-n-i*e^inx+2^-n-1*i*e^-nx

Svar #19
13. november 2015 af hammer26 (Slettet)

#18 Peter det forstår jeg ikke. I min lærebog er der en formel som siger

$c_{n}=\frac{a_{n}-ib_{n}}{2} for n= 1,2,3..., c_{n}=\frac{a_{n}+ib_{-n}}{2} for n=-1,-2,-3.......$

Og et eksempel fra min lærebog:

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{2}{n}(-1)^{n+1}sin(nt)$ Her er der brugt den formel for c_n

$c_{n}=-\frac{i}{2}b_{n}=-\frac{i}{2}(-1)^{n+1}\frac{2}{n}=(-1)^{n}\frac{i}{n}, for n=1,2,3....$

og det bliver det samme for c_n = b_-n .

Det var denne fremgangsmåde jeg brugte og jeg troede var korrekt. Her er der ikke brugt noget exp for sin(nt)!!!

Jeg skylder dig snart en julegave for din hjælp her

Brugbart svar (0)

Svar #20
13. november 2015 af peter lind

Det var mig der blandede to formler sammen. Undskyld. med min metode

∑2^-n(e^inx+e^-inx)/2 = ∑2^-n-i*e^inx+2^-n-1*e^-nx

Forrige 1 2 Næste

Der er 37 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.