Matematik

Dobbel integral

11. januar 2016 af Zaraaaa - Niveau: Universitet/Videregående

Hej,

Jeg er igang med at forberede til Calculus 2 eksamen og jeg forstår ikke følgende opgave:

Lad D betegne området i planen givet ved

D = (x,y): 0 ≤ x ≤ y , 4 ≤ x^2 + y^2 ≤ 9

Opgaven lyder:

lad f være en kontinuert funktion af en variable, som opfylder at ∫f(t) = 1 , hvor grænseværdierne er a=4 og b=9 , Udregn dobbelt integralet:

∫ f(x^2+y^2)dA

Håber, at der er en der kan hjælpe med opgaven! (-:

Brugbart svar (0)

Svar #1
11. januar 2016 af peter lind

Jeg gætter på, at dine problemer er grænserne. Dem finder du næsten altid nemmest ved at lave en graf af området, der skal integreres over. Når du laver grafen kan det være en fordel at se på når ulighedstegnene erstattes med lighedstegn. I det aktuelle tilfælde: Den første betingelse giver en begrænsning med linjen y=x. Den anden en begrænsning mellem to cirkler med centrim i (0, 0)

Brugbart svar (0)

Svar #2
11. januar 2016 af Stats

(det var sQ lidt dumt... Jeg aner ikke om det er rigtigt tegnet :-S )

- - -

Mvh Dennis Svensson

Vedhæftet fil:Untitled.png

Svar #3
11. januar 2016 af Zaraaaa

Altså r må løbe fra 2 ≤ r ≤ 3

Og x er større end 0 og y er samtidige større end 0, så vi må befinde os i 1 kvadrant. Så langt tror jeg, at jeg har forstået, så det er tetha der driller mig. Altså jeg tror den skal være:

pi/4 ≤ θ ≤ pi/2

Men jeg kan godt se, hvorfor det skal være pi/2 , men hvorfor skal det være pi/4. Kunne tetha ikke ligeså godt løbe fra:

0 ≤ θ ≤ pi/2 ?

Brugbart svar (0)

Svar #4
11. januar 2016 af SådanDa

Men x≤y, så det er kun punkterne over diagonalen (ligesom Dennis har tegnet i #2) der virker.

Svar #5
11. januar 2016 af Zaraaaa

Kan godt se det nu (-:

Så min dobbelt integral bliver (vedhæftet som fil)

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2016-01-11 kl. 22.17.50.png

Svar #6
11. januar 2016 af Zaraaaa

Men den skal opfylde ∫f(t) = 1 ?

Brugbart svar (1)

Svar #7
12. januar 2016 af Therk

[...] lad f være en kontinuert funktion af en variable, som opfylder at ∫f(t) = 1 , hvor grænseværdierne er a=4 og b=9 , [...]

Læg mærke til at dine krav på f kan omskrives ved substitution. Omskrivningen er genkendt ved grænserne (2² = 4, 3² = 9)

$1 = \int_4^9 f(r)\, \mathrm dr = \int_2^3 f(r^2)\cdot 2r\,\mathrm dr$

Om vores integrationsvariabel er r eller t er udelukkende notation, så jeg har brugt r for at du måske nemmere kan genkende dit integrale i #5 som heroverstående. Kravet på f betyder altså at

$\int_2^3f(r^2) r\, \mathrm dr = \frac 12$

Så er dobbeltintegralet pludseligt trivielt:

$\int_D f(x^2+y^2)\, \mathrm d\boldsymbol A = \int_{\pi/4}^{\pi/2} {\color{red}\int_2^3 f(r^2)r \,\mathrm dr} \, \mathrm d\theta = \int_{\pi/4}^{\pi/2} {\color{red}\frac 12}\, \mathrm d\theta$

Brugbart svar (0)

Svar #8
12. januar 2016 af Soeffi

#5.

Du mangler vist f'et i det inderste integrale.

Svar #9
12. januar 2016 af Zaraaaa

Okay - det giver meget godt mening! :-)

Så mit endelige svar er pi/8?

Brugbart svar (0)

Svar #10
12. januar 2016 af Therk

Det var da godt at høre. Og fuldstændig korrekt!

Brugbart svar (0)

Svar #11
04. januar 2017 af EmilKEriksen (Slettet)

Jeg sad også fast ved denne opgave, og dit svar giver god mening, men jeg kan ikke forstå, hvorfor 2r skal ganges på i din omskrivning? Jeg kunne forstå hvis r skulle ganges på, fordi der omregnes til polære koordinater, kan hvor kommer 2 fra?

Håber du kan hjælpe.

Brugbart svar (1)

Svar #12
05. januar 2017 af VandalS

#11

Benyt substitutionen t^2=r ; så er $\textup{d} r = 2 t\hspace{0.1cm} \textup{d} t$ .

Brugbart svar (0)

Svar #13
05. januar 2017 af EmilKEriksen (Slettet)

Okay, jeg tror jeg forstår det nu. Jeg er vant til at se integration ved substition som en metode, men det er nemmere at forstå denne opgave, hvis man ser det som en formel (i hvert fald for mig):

g(r) = r^2
f(t) = t
$\int_{g(a)}^{g(b)}f(t) dt = \int_{a}^{b}f(g(r)) \cdot g'(r) dr$
g'(r) = 2r

Så hvis vi sætter ind:

$\int_{g(2^2) = 4}^{g(3^2) = 9}f(r^2) \cdot 2r dr$

Som jo også er det #7 får.

Tak for hjælpen!

Skriv et svar til: Dobbel integral

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.